257 Maturavorbereitung: Wahrscheinlichkeit und Statistik > Wahrscheinlichkeit und Statistik Laplace-Wahrscheinlichkeit Sind alle Elementarereignisse eines endlichen Grundraums Ω gleichwahrscheinlich, gilt für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses E: P(E) = Anzahl der für E günstigen Fälle ________________ Anzahl aller möglichen Fälle Multiplikationsregel Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „A und B“ zu bestimmen, werden im Wahrscheinlichkeitsbaum die Wahrscheinlichkeiten entlang des Weges zum Ereignis „A und B“ multipliziert. P(A und B) = P(A ∧ B) = P(A) · P(B|A ) Additionsregel Entsprechen einem Versuchsergebnis mehrere Wege im Baumdiagramm, so werden die Wahrscheinlichkeiten entlang der Wege addiert. P((A‘ und B) oder (A‘ und B‘)) = P(A‘∧ B) + P(A‘∧ B‘) = P(A‘) · P(B|A‘) + P(A‘) · P(B‘|A‘) Binomialkoeffizient (n _ k ) = n ! _ (n − k) !·k ! Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele Arten man k gleiche Elemente auf n Plätze verteilen oder k Elemente aus n Elementen auswählen kann (ohne Beachtung der Reihenfolge). Wahrscheinlichkeitsverteilung(en) Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion Die Funktion, die jedem Wert x einer diskreten Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit P(X = x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Funktion, die jedem Wert x einer diskreten Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) zuordnet, heißt Verteilungsfunktion. Erwartungswert E einer diskreten Zufallsvariablen X E(X) = μ = x 1 · P(X = x 1) + x 2 · P(X = x 2) + x 3 · P(X = x 3) +…+xn · P(X = x n) Varianz V und Standardabweichung σ einer diskreten Zufallsvariablen X V(X) = σ 2 = (x 1 − μ) 2 · P(X = x 1) + (x 2 − μ) 2 · P(X = x 2) + … + (x n − μ) 2 · P(X = x n) Binomialverteilung Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = k) = ( n k) · p k · (1 − p) n−k heißt Binomialverteilung mit den Parametern n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit) mit0≤k≤n,0≤p≤1undk=0,1,2,3,…, n. Erwartungswert μ = E(X) = n · p Varianz σ 2 = V(X) = n · p · (1 − p) Bedingungen für die Binomialverteilung – Jeder Versuch hat nur zwei mögliche unabhängige Versuchsausgänge (Erfolg und Misserfolg). – Die Erfolgswahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg sind konstant. P(A) P(A ? B) P(A ? B’) P(A’ ? B) P(A’ ? B’) P(B‡A) B B B’ B’ P(B’‡A) P(B‡A’) P(B’‡A’) P(A’) A A’ Merke WS-R 2.3 WS-R 2.3 WS-R 2.3 WS-R 2.4 WS-R 3.1 WS-R 3.1 WS-R 3.1 WS-R 3.2 WS-R 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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