Mathematik verstehen 2, Schulbuch

4.7 MERKwürdiges: Achtung, Formeln! 125 Formeln sind wichtige Werkzeuge in der Mathematik, jedoch besteht Mathematik nicht bloß aus Formeln und Gleichungen. Diese sind aber immer schon ein Ziel der Mathematik gewesen, da durch Formeln Sachverhalte allgemein beschrieben werden können. Außerdem haben Formeln die Eigen- schaft, dass sie nur entweder richtig oder falsch sein können. So ist die Formel A = a·b für den Flächeninhalt eines Rechtecks genau dann richtig, wenn A für den Flächeninhalt, a für eine Länge und b für die andere Länge des Rechtecks steht. Den Umfang u eines Rechtecks kann man mit u = a + a + b + b , mit u = 2·a + 2·b oder mit u = 2·(a + b) angeben oder durch einige weitere Möglichkeiten. Jede dieser Formeln ist richtig, weil damit anhand von beliebigen Längenangaben a und b der Umfang des zugehörigen Rechtecks er- mittelt werden kann. Die Formeln sind daher allgemein gültig. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich GAUSS (1777‒1855) hat bereits in der Volksschule Vorgaben für eine bekannte Formel entwickelt. Der Lehrer wollte die Kinder eine Zeitlang beschäftigen. So gab er ihnen die Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen. Während alle angestrengt rechneten, hatte der kleine Carl Friedrich das richtige Ergebnis sehr schnell. Seine Idee war folgende: Man muss gar nicht alle Zahlen nacheinander addieren, es reicht sich vorzustellen, dass man gleichzeitig bei der ersten und der letzten Zahl ansetzt und dann bis zur Mitte fortschreitet. So liefern 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 usw. stets die Summe 101. Ist man bei 50 + 51 angekommen, hat man 50 Additionen jeweils mit der Summe 101 gebildet, dh. 50·101 = 5050. Diese Überlegungen führen zu einer Formel, mit der man die ersten n natürlichen Zahlen (außer 0) einfach ausrechnen kann: 1 + 2 + 3 + … + n = n·(n + 1) ______ 2 Rechne mit der Formel die Summe aller Zahlen von 1 bis 20 aus und überprüfe das Ergebnis durch tatsächliches Zusammenzählen! Ermittle dann die Summe der Zahlen von 1 bis 200 und von 1 bis 1 000! In Zeitschriften findet man jedoch immer wieder seltsame Formeln, die mit Mathematik an sich gar nichts zu tun haben, aber immerhin kurios aussehen. So war im Jahr 2008 in mehreren Zeitungen eine mathematische Formel für den perfekten Käse-Sandwich zu lesen: W = $ 1 + b·d _____ 6,5 – s + m – 2·c _____ 2 + v + p ___ 7·t % · 100 + ø ____ 100 Dabei sollte W die Dicke der Käsescheibe in Millimeter sein, b die Dicke des Brotes, d dessen Besonderheit (Weißbrot, Vollkornbrot, …), ø die Salatmenge, m die Menge an Mayonnaise, p die Menge an Gewürzgurken und v die Menge an Paradeisern sein. Offenbar wurde mit dieser Formel tatsächlich mit Versuchspersonen und Messgeräten an einem Käse-Sand- wich herumexperimentiert. Darüber, in welcher Einheit die „Besonder- heit“ eines Brotes gemessen wurde, konnte man jedoch nichts Konkretes erfahren. (www.cheddarometer.com) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv