Mathematik verstehen 2, Schulbuch

7.4 Besondere Punkte bei Dreiecken Der Umkreismittelpunkt Da sich die Siedlungen Köhlergrund und Hainwiese nicht auf einen neuen Schulstandort einigen konnten, der von beiden Siedlungen gleich weit ent- fernt ist, siehe Aufgabe 6.51, besteht nun auch die Siedlung Mitterau darauf, von dieser Schule genau so weit entfernt zu sein wie die beiden anderen Sied- lungen. Warum macht dieser Umstand das Ganze viel einfacher? Es gibt beliebig viele Standorte, die von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind. Diese liegen auf der Streckensymmetralen der Strecke AB. Soll nun für einen dritten Punkt C das Gleiche gelten, sind Streckensymmetralen von AC und BC nötig. Alle drei Strecken- symmetralen schneiden einander in einem Punkt, der von A, B und C gleich weit entfernt ist. Konstruiere jenen Punkt U, der von A = (0 1 1), B = (6 1 1) und C = (2 1 5) gleich weit entfernt ist! Gib die Koordinaten von U an! 1 2 3 4 5 6 1 O 2 3 4 5 7 6 1. Achse 2. Achse A B U m AB m BC m AC C Lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die Streckensymmetralen m AB , m BC und m AC schneiden einander im Punkt U = (3 1 2). Da der Punkt U von allen drei Punkten gleich weit entfernt ist, kann man diesen als Mittel- punkt des Umkreises mit dem Radius r = __ UA = ___ UB = __ UC ansehen. Es seien A, B und C die Eckpunkte eines Dreiecks. Die Streckensymmetralen m AB , m BC und m AC der drei Dreiecksseiten AB, BC und AC schneiden einander in einem Punkt U , dem Umkreismittelpunkt . Der Punkt U ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt . Konstruiere den Umkreismittelpunkt U und den Umkreis für das Dreieck ABC! a) A = (1 1 4), B = (4,5 1 4,5), C = (3 1 5) b) A = (1 1 2), B = (6 1 2), C = (6 1 4) Lösung: a) 1 2 3 4 5 6 1 O 2 3 4 5 6 1. Achse 2. Achse A B U m AB m BC m AC C b) 7 1 2 3 4 5 6 1 O 2 3 4 5 6 1. Achse 2. Achse A B U m AB m BC m AC C Köhlergrund Hainwiese Mitterau 7.78 C 7.79 O 7.80 O 186 Nur U zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv