Mathematik verstehen 3, Schulbuch

4.4 Die binomischen Formeln Eingliedrige Terme werden als Monome, mehrgliedrige Terme als Polynome bezeichnet. Einen Spezialfall stellen zweigliedrige Terme dar, die als Binome bezeichnet werden. Ein Quadrat hat die Seitenlänge (a + b). 1) Berechne den Flächeninhalt A dieses Quadrats! 2) Begründe das Ergebnis anhand der Abbildung! Lösung: 1) A = (a + b) 2  = (a + b)·(a + b) =  = a·a + b·a + a·b + b·b = = a 2  + ab + ab + b 2  = a 2  + 2ab + b 2 2) Das große Quadrat mit der Seitenlänge (a + b) besteht aus einem Quadrat mit dem Flächen inhalt a 2 , einem Quadrat mit dem Flächeninhalt b 2 und aus zwei gleich großen Rechtecken, die jeweils a·b als Flächeninhalt haben. Die Summe der vier Flächeninhalte a 2  + ab + ab + b 2  = a 2  + 2ab + b 2 ergibt den Flächeninhalt des großen Quadrats. Ein Quadrat hat die Seitenlänge a. Erkläre geometrisch an- hand der Abbildung, warum der Flächeninhalt des färbi- gen Rechtecks a 2  – 2ab + b 2 ist! Lösung: Das färbige Rechteck hat den Flächeninhalt (a – b)  2 . Diesen erhält man, wenn von dem Flächeninhalt des großen Rechtecks die Flächeninhalte der drei weißen Rechtecke abgezogen werden: a 2  – b·(a – b) – b 2  – b·(a – b) =  = a 2  – ab + b 2  – b 2  – ab + b 2  = a 2  – 2ab + b 2 Durch Ausmultiplizieren des Terms (a – b) 2 erhält man ebenso: (a – b)·(a – b) = a·a – a·b – a·b + b·b = a 2  – 2ab + b 2 Für das Produkt der Binome (a + b) und (a – b) gilt: (a + b)·(a – b) = a·a + a·b – a·b – b·b = a 2  – b 2 Die binomischen Formeln Für Terme A, B gilt: (1) (A + B)  2 = A  2 + 2AB + B  2 (2) (A – B)  2 = A  2 – 2AB + B  2 (3) (A + B) · (A – B) = A  2 – B  2 Zu den drei binomischen Formeln kann man der Vollständigkeit halber noch hinzufügen: (‒A + B)  2 = A  2 – 2AB + B  2 (‒A – B)  2 = A  2 + 2AB + B  2 Beispiele: (x + 6 y) 2  = x 2  + 2·x·6 y + (6 y) 2  = x 2  + 12 x y + 36 y 2 (4p – 5q) 2  = (4p) 2  – 2·4p·5q + (5q) 2  = 16p 2  – 40pq + 25q 2 (8u + 3 v)·(8u – 3 v) = (8u) 2  + 3 v·8u – 3 v·8u – (3 v) 2  = 64u 2  – 9 v 2 O A 4.110 a a b b b 2 a 2 a . b a . b a +b a +b Ó O A 4.111 a ‒b b b b 2 (a ‒b) 2 a ‒b b . (a ‒b) b . (a ‒b) a a Ó Ó Demo – 4mf276 104 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv