Mathematik verstehen 3, Schulbuch

5.6 Sind alle Wachstums- und Abnahmeprozesse linear? Lineare Entwicklungen sind sehr wichtige Beschreibungen von Vorgängen. Sie sind jedoch nicht für alle Wachstums- oder Abnahmeprozesse passende Modelle, wie etwa die folgenden Aufgaben zeigen. Klara und Bernd haben einen Kredit in der Höhe von 10000€ aufgenommen. Der jährliche effektive Zinssatz ist mit 8% angegeben. Sie können erst in ein paar Jahren mit der Rückzahlung beginnen. a) Wie hoch wären die Kreditschulden ohne Rückzahlung 1) nach einem Jahr, 2) nach zwei, 3) nach fünf, 4) nach 20 Jahren? b) Fertige ein zur Aufgabenstellung passendes Punktdiagramm an! Lösung: a) 1) S 1  = 10000€·(1 + 0,08) = 10000€·1,08 = 10800€ 2) S 2  = (10000€·1,08)·1,08 = 10000€·1,08 2  = 11 664€ 3) S 5  = 10000€·1,08·1,08·1,08·1,08·1,08 = 10000€·1,08 5 ≈ 14693,28€ 4) S 20  = 10000€·1,08·1,08·1,08·1,08·1,08·…·1,08 = 10000€·1,08 20 ≈ 46609,57€ b) 10000 20000 30000 40000 50000 5 1 O Schulden (in Euro) Zeit (in Jahren) 10 15 20 25 Alawi macht es sich zur Aufgabe, ein Kilogramm Mehl so auf verschiedene Behälter aufzu- teilen, dass in den ersten Behälter ein halbes Kilogramm Mehl gefüllt wird. In den zweiten Behälter schüttet er vom verbleibenden Mehl wiederum die Hälfte ein, also ein viertel Kilo- gramm. In den nächsten Behälter kommt abermals die Hälfte des verbleibenden Mehls, al- so ein achtel Kilogramm usw. 1) Fertige dazu ein Punktdiagramm an, wobei auf der 1. Achse die Behälter der Reihe nach gelistet sind und auf der 2. Achse der jeweils zugehörige Inhalt in Kilogramm! 2) Wie viel Kilogramm Mehl befinden sich in Behälter 10? 3) Wie viele Behälter würde Alawi benötigen, wenn er das ganze Kilogramm Mehl auf diese Weise umfüllen möchte? Begründe die Antwort! Lösung: 1) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 5 6 7 1 2 3 4 O Masse (in Kilogramm) Behälter 2) In Behälter 1 ist   1 _ 2 kg. In Behälter 2 ist   1 _  2 ·  1 _ 2 kg =  “    1 _ 2   §   2 kg =   1 _ 4 kg. In Behälter 3 ist “    1 _ 2   §   3 kg =   1 _ 8 kg. … In Behälter 10 ist “    1 _ 2   §   10 kg =   1 ___  1 024 kg. 3) Er würde auf diese Weise unendlich viele Behälter benötigen, da es keine Zahl n gibt, für welche die Gleichung “    1 _ 2   §   n = 0 erfüllt ist. 5.58 D O 5.59 D O 138 I 2 Variablen, funktionale Abhängigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv