Mathematik verstehen 3, Schulbuch

7.7 MERKwürdiges: Der goldene Schnitt 177 I 3 Geometrische Figuren und Körper Das geometrische Mittel Es ist bekannt, dass das arithmetische Mittel _ xzweier Zahlen a und b mit der Formel _ x=   a + b ___ 2  berechnet werden kann. Dabei gilt: a +   b – a ___ 2  = _ xund _ x+   b – a ___ 2  = b. Das geometrische Mittel _ x  g zweier Zahlen a und b wird mit _ x  g =  9 ___ a·bberechnet und es gilt: a· 9 __   b _ a = _ x  g und _ x  g · 9 __   b _ a = b. Es kommt vor allem in der Wirtschaftsmathematik und bei geometrischen Sachver- halten zur Anwendung. Die stetige Teilung Eine Strecke AB nennt man im Punkt T stetig oder im goldenen Schnitt geteilt, wenn gilt: __ AB __ AT=  __ AT __ TB oder anders angeschrieben   __ AB __  _ AT =   __ AT __ _ TB Die Länge der Strecke AT ist somit das geometrische Mittel aus der Länge der Strecke TB und der Länge der Gesamtstrecke AB. Man kann also schreiben: __ AT=  9 _____ AB· TB Der Punkt T lässt sich durch stetige Teilung der Strecke AB konstruieren; außerdem wird hiermit gleichzeitig ein geometrischer Beweis mit Hilfe des Strahlensatzes geliefert: A B AB 1 2 A T D D C C’ B A B T Der goldene Schnitt in der Kunst Viele künstlerisch tätige Menschen haben erkannt, dass ein Motiv, das sich genau im Zentrum eines Bildes befindet, statisch und langweilig erscheint. Der goldene Schnitt ist für die bildnerische und architektonische Gestal- tung daher ein Instrument, ein Objekt harmonisch wirken zu lassen. Selbst die Proportionen des Körpers, so hat es zB der Künstler LEONARDO da Vinci (1452 –1519) erkannt, entsprechen annähernd der Teilung im golde- nen Schnitt. Ó b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv