Mathematik verstehen 3, Schulbuch

8.2 Längen von Hypotenuse und Katheten ermitteln Berechnen der fehlenden Seitenlänge Von einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Längen der Katheten a = 12 cm und b = 16 cm gegeben. Berechne die Hypotenusenlänge c! Lösung: 12 2  + 16 2  = 144 + 256 = c 2 400 = c 2 Da 20·20 = 400, also 20 2  = 400, gilt: c = 20. Die Hypotenuse c ist 20 cm lang. Bemerkung: Es gilt auch (‒20)·(‒20) = (‒20) 2  = 400. Da aber Streckenlängen stets positive Zahlen sind, ist nur c = 20 sinnvoll. Von einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Länge der Kathete a = 9m und die Länge der Hypotenuse c = 41m gegeben. Berechne die Kathetenlänge b! Lösung: 9 2  + b 2  = 41 2 b 2  = 41 2  – 9 2  = 1 681 – 81 = 1 600 Da 9 ____ 1 600= 40, gilt: b = 40. Die Kathete b ist 40m lang. Bemerkung: Es gilt 40 2  = 1 600, aber auch (‒40) 2  = 1 600. Da 9 ____ 1 600eine Zahl ist und damit das Wurzelsymbol eindeutig ist, gilt nur 9 ____ 1 600= 40. Ein Sendemast wird an beiden Seiten durch so genannte Abspann- seile gesichert. Diese sind an dem Mast in einer Höhe von 170m befestigt und auf dem Boden in einem Abstand von 80m links und rechts vom Mast verankert. Berechne die Länge eines solchen Abspannseils, wenn es straff gespannt ist! Lösung: Das linke Seil, der Mast und die horizontale Strecke von der linken Verankerung bis zum Mast bilden ein recht- winkeliges Dreieck, dessen Kathetenlängen a = 80m und b = 170m sind. Es gilt also der pythagoräische Lehrsatz. 80 2  + 170 2  = c 2 und damit 9 _______ 80 2  + 170 2  = c 9 _______ 80 2  + 170 2  = 9 __________ 6400 + 28900=  9 _____ 35300= c Mit dem Taschenrechner erhält man c = 187,8829423… ≈ 188 Das Abspannseil ist rund 188m lang. Vorsicht: Im Allgemeinen gilt:  9 _____ a 2  + b 2 ≠ 9 __ a 2 +  9 __ b 2  ! Es seien a und b die Kathetenlängen und c die Hypotenusenlänge eines rechtwinkeligen Dreiecks. Dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: a 2  = c 2  – b 2 oder a =  9 _____ c 2  – b 2 b 2  = c 2  – a 2 oder b =  9 _____ c 2  – a 2 c 2  = a 2  + b 2 oder c =  9 _____ a 2  + b 2 a = 12 cm b = 16 cm c = ? 8.10 O a = 9m c = 41m b = ? 8.11 O 170m 80m c 8.12 OD 183 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv