Mathematik verstehen 3, Schulbuch

1.3 Ganze Zahlen ordnen Gisela und Siena stellen sich die Frage, ob ‒7 kleiner oder größer als ‒4 ist. Gisela meint: Wenn ich bei dir 7€ Schulden habe, dann sind das mehr, als wenn ich 4€ Schulden ha- be. Also ist ‒7 größer als ‒4. Außerdem herrscht bei ‒7° C größere Kälte vor als bei ‒4° C. Also ist ‒7 größer als ‒4. Und auch die spiegelbildliche Anordnung auf der Zahlengeraden zeigt, dass die Zahlen nach links und nach rechts größer werden. Siena meint: Ein Kontostand von ‒7€ ist ein geringerer als ein Kontostand von ‒4€. Also ist ‒7 kleiner als ‒4. Außerdem ist ‒7° C eine niedrigere Tempera- tur als ‒4° C. Also ist ‒7 kleiner als ‒4. Und auf der Zahlengeraden ist bei fortlau- fender Anordnung die Zahl, die rechts steht, immer größer als jene, die links steht. 0 1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 2 3 4 5 0 1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 2 3 4 5 Also ist ‒7 größer als ‒4. Also ist ‒7 kleiner als ‒4. Diskutiert darüber, wer von beiden Recht hat! In der Tat ist die Frage nicht so leicht zu beantworten, ob ‒7 kleiner oder größer als ‒4 ist. Beide Argumentationen sind zweifellos einleuchtend. Da man negative Zahlen aber nicht in der Natur vorfindet, wo man die Ordnung leicht überprüfen könnte, ist man auf Festlegungen ange- wiesen, die in der Mathematik ihren Sinn haben: 9€ sind unbestreitbar weniger als 12€, daher 9 < 12. 9 < 12 Ziehen wir nun von beiden Beträgen jeweils gleich viel ab, ‒8 ‒8 nämlich 8€, so verbleiben 1€ und 4€. Es gilt immer noch 1 < 4. 1 < 4 Ziehen wir nun abermals von beiden Beträgen jeweils 8€ ab, so können wir uns ‒7€ und ‒4€ mit Münzen zwar nicht mehr ‒8 ‒8 vorstellen, aber die Kleiner-Beziehung sollte erhalten bleiben. Daher ist es sinnvoll, Sienas Vorstellungen zu folgen und festzulegen: ‒7 < ‒4 Für zwei Zahlen a und b gilt a < b genau dann, wenn die Zahl a auf der Zahlengera- den links von der Zahl b liegt. 0 1 b a 0 1 b a 0 1 b a Bemerkung: Wenn manche Menschen meinen, 400€ seien größere Schulden als etwa 200€, so wird hier die spiegelbildliche Anordnung von Zahlen verwendet. Ein Kon- tostand von ‒400€ wird als dasselbe wie der Betrag 400€ gesehen, nur anders gedeutet: als Schulden statt als Guthaben. Um die negativen Zahlen besser zu verstehen, ist es notwendig, die Zahlen ‒400 und 400 als unterschiedliche Zahlen zu betrachten, zB mit der gemeinsamen Deutung als Kontostand. Es ist nämlich sehr wohl ein Unterschied, ob der Kontostand ‒400€ oder 400€ ist. 1.19  C 25 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv