Mathematik verstehen 3, Schulbuch

2.5 Der Absolutbetrag einer rationalen Zahl In einer Stadt stehen drei Häuser nebeneinander. Haus A ist 8,46m hoch, Haus B 7,21m und Haus C 9,71m. 1) Um wie viel Meter ist Haus C höher als Haus A? 2) Um wie viel Meter ist Haus B niedriger als Haus A? Lösung: 1) 9,71 – 8,46 = 1,25 Haus C ist um 1,25m höher als Haus A. 2) 7,21 – 8,46 = ‒1,25 Haus B ist um 1,25m niedriger als Haus A. Der Absolutbetrag der Höhendifferenzen ist in beiden Fällen der gleiche. Da für jede rationale Zahl a die Zahl –a deren Gegenzahl ist, gilt: Der Absolutbetrag (oder Betrag ) einer rationalen Zahl a ist derselbe wie der ihrer Gegen- zahl ‒a . Man schreibt: † ‒a †  =  † +a † Man kann sich den Absolutbetrag einer Zahl a als Abstand der Zahl a vom Nullpunkt der Zahlengeraden vorstellen. Da ein Abstand nicht negativ sein kann, gilt stets: † a † º 0. –– Ist a º 0, dann ist † a †  = a. –– Ist a < 0, dann ist † a †  = ‒a. (Da a negativ ist, ist –a positiv.) Beispiele: † 12 †  = 12 † ‒9 †  = 9 † 7,15 †  = 7,15 ​ †  – ​  3 _ 8 ​  † ​= ​  3 _ 8 ​ Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Für welche Zahlen a gilt die Gleichung? a) † a †  = 2 b) † a †  = 14 c) † a †  = 3,9 d) † a †  =  ​  11 __  9  ​ e) † a †  = ‒1 Für welche ganzen Zahlen gilt die Betragsungleichung? a) † a † ª 5 b) † a † º 1 c) † a † ª 0 d) † a † º  – ​  1 _  2 ​ e) † a † ª ‒7,2 Kreuze die korrekten Aussagen an! † ‒4,8 †  = 4,8 † ‒5 † < 2  ‒  † ‒ ​  3 _ 4 ​  † > ​  1 _ 2 ​  ‒ † ‒10 †  = ‒10  † ‒3 † > † ‒2 † Dietmar ist 1,62m groß. Sein Vater ist 1,81m und seine Schwester Romana ist 1,43m groß. 1) Um wie viel Zentimeter ist der Vater größer als Dietmar? 2) Um wie viel Zentimeter ist Romana kleiner als Dietmar? 3) Gib den Absolutbetrag der beiden Größendifferenzen an! Begründet die Gültigkeit des folgenden Satzes: Der Abstand der Zahlen a und b auf der Zahlengeraden ist † b – a † . 2.67  O 0 a |a| 0 ‒a |a| 2.68  O 2.69  O I 2.70  I 2.71  O 2.72  A B a b |b – a| b a |b – a| 57 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv