Mathematik verstehen 3, Schulbuch

2.8 MERKwürdiges: Die „Konstruktion“ rationaler Zahlen 65 Zählerachse und Nennerachse Der Punkt, welcher der rationalen Zahl   4 _ 3 entspricht, soll auf der Zahlengeraden gefunden werden. Dazu ist es notwendig, dass senkrecht zur Zahlengeraden eine wei- tere Achse durch 0 eingezeichnet wird – ähnlich wie in einem recht- winkeligen Koordinatensystem. Dabei wird die Zahlengerade als Zählerachse und die zweite Achse als Nennerachse bezeichnet. Nun werden Zähler und Nenner der Zahl   4 _ 3 auf den entsprechenden Achsen markiert; die Markierungen werden dann durch eine Strecke verbunden. Nun stellen alle Strecken, die parallel zu dieser sind, die Zahl   4 _ 3 dar. Wir können das erkennen, wenn auf der Zählerachse 8 und auf der Nennerachse 6 markiert wird oder für 12 auf der Zäh- lerachse und 9 auf der Nennerachse, da   4 _ 3 =   8 _ 6 =   12 __ 9  . Und da jede Zahl in Bruchdarstellung als Ergebnis einer Division gedeutet werden kann, gilt im umgekehrten Fall   4 _ 3 1 =     4 _ 3 _ 1 . Verschiebt man die Strecke parallel derart, dass auf der Nennerachse 1 markiert ist, wird auf der Zählerachse, also auf der Zah- lengeraden, genau jener Punkt markiert, welcher der Zahl   4 _ 3 entspricht. Versucht diese „Konstruktion“ auch für an- dere rationale Zahlen durchzuführen! 0 1 1 2 3 4 ‒1 2 Zählerachse Nennerachse 3 4 5 0 1 1 2 3 4 5 ‒1 2 Zählerachse Nennerachse 3 4 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 4 3 Punkte auf der Zahlengeraden Streng genommen kann man Zahlen nicht konstruieren, Zahlen lassen sich lediglich auf verschiede- ne Arten darstellen, so etwa als Punkte auf der Zahlengeraden. Jeder rationalen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden. Rationale Zahlen lassen sich darauf mit beliebiger Genauigkeit darstellen. Aber stets ganz genau jenen Punkt zu finden, der zB der Zahl ‒   6 __  17 entspricht, scheint kaum möglich zu sein. 0 1 ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 ‒5 2 3 4 0,5 1,5 ‒0,5 ‒1,5 ‒2,5 ‒3,5 ‒4,5 2,5 3,5 4,5 5 ‒4 3 2 5 4 3 ‒ 6 17 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv