Reichel Mathematik 6, Schulbuch

104 Algebraisches Lösen von Ungleichungen mit einer Variablen In diesem Kapitel wirst du Ungleichungen genauer kennen lernen und sie lösen, • mit Systemen von Ungleichungen umgehen lernen, • dein frisch erworbenes Wissen zum Lösen von Sachproblemen anwenden. • Wiederholung und Vorschau Neben Gleichungen haben wir bereits auch Ungleichungen kennen gelernt, wie etwa 5 x – 1 < x + 1 oder x/2 > 5 + 3 x Anders als bei Gleichungen sind die Terme der linken und rechten Seite einer Ungleichung durch ein Ungleichheitszeichen ( < , > , ª , º , unter Umständen auch ≠ ) verbunden. Genau wie Gleichungen kann man auch Ungleichungen in lineare Ungleichungen, quadratische Ungleichungen usw. einteilen. Definiere øineare und quadratische Ungøeichungen mit einer Variabøen! Eine Ungleichung lösen heißt, aus einem vorgegebenen „Vorrat“ – der Grundmenge G – jene Elemente herauszusuchen, welche die Ungleichung erfüllen , dh. sie in eine wahre Aussage überführen. Die Ge- samtheit dieser Elemente ist eine Teilmenge von G , genannt Lösungsmenge L der Ungleichung. Ungleichungen können wie Gleichungen durch Probieren , durch Näherungsverfahren (insbesondere graphische Verfahren ) oder durch Äquivalenzumformungen gelöst werden. Letztere dienen dazu, eine Ungleichung in eine „einfachere“ Ungleichung mit der gleichen Lösungsmenge überzuführen. Wir wissen bereits: Eine Ungleichung geht in eine äquivalente über, wenn man auf beiden Seiten – den gleichen Term addiert oder subtrahiert, oder – mit der gleichen positiven Zahl multipliziert oder durch die gleiche positive Zahl dividiert. Satz Beim Muøtipøizieren mit einer negativen Zahø bzw. beim Dividieren durch eine negative Zahø dreht sich das Ungøeichheitszeichen um. Begründe anhand der Figur! 5 3 0 ‒3 ‒5 < < Multipliziert man daher eine Ungleichung mit einem Term T (x) oder dividiert man sie durch diesen, so hat man grundsätzlich in einer Fallunterscheidung die Fälle T (x) > 0 und T (x) < 0 zu untersuchen. Im Fall T (x) > 0 bleibt das Ungleichheitszeichen unverändert, im Fall T (x) < 0 dreht es sich um. Beispiel A Löse a 5 x – 1 < x + 1, b x/2 º 5 + 3 x 1 in N , 2 in Z , 3 in Q , 4 in R – ! Lösung: a 5 x – 1 < x + 1 ! +1 5 x < x + 2 ! ‒x 4 x < 2 ! 4 (4 ist positiv, das < bøeibt) x < 0,5 1 L = {0} 2 L = {… ; ‒2; ‒1; 0} 3 L = {x * Q‡ x < 0,5} 4 L = ]‒ • ; 0[ b x/2 º 5 + 3 x ! ‒3 x ‒2,5 x º 5 ! (‒2,5) (‒2,5 ist negativ, º umdrehen zu ª ) x ª ‒2 1 L = { } 2 L = {… ; ‒3; ‒2} 3 L = {x * Q‡ x ª ‒2} 4 L = ]‒ • ; ‒2] Man sieht: Die Lösungsmenge hängt nicht nur von der Ungleichung, sondern auch von der Grundmenge ab. Die Kontrolle der Lösungen muss sich auf Stichproben beschränken. Warum? 3.0 150501-104 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv