Reichel Mathematik 6, Schulbuch

106 Algebraisches Lösen von Ungleichungen mit einer Variablen 3 Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen 1. Mehrere Ungleichungen mit einer Variablen logisch verknüpfen Aus der 5. Klasse (Kap. 1) wissen wir bereits, dass Ungleichungen (und Gleichungen) dazu dienen, Be- dingungen zu formulieren. Häufig braucht man dazu mehrere , miteinander verknüpfte Ungleichungen. Dabei sind mitunter verschiedene Schreibweisen möglich (und gebräuchlich): Beispielsweise kann man die Bedingung „ x liegt zwischen ‒2 und 2 “ darstellen – als fortlaufende Ungleichung (Ungleichungskette): ‒2 < x < 2 – als Betragsungleichung : † x † < 2 – als konjunktives System von Ungleichungen : (‒2 < x) ? (x < 2) – als negiertes disjunktives System von Ungleichungen : ¬ ((x ª –2) = (x º 2)) Beispiel B Formuøiere mitteøs Ungøeichung(en) auf mindestens zwei Arten! a x ist mindestens ‒2 und höchstens 4 b x ist nicht 0 c x øiegt nicht zwischen ‒3 und 3 Lösung: Es gibt mehrere Mögøichkeiten, die Bedingungen zu formuøieren: a ‒2 ª x ª 4 oder (‒2 ª x) ? (x ª 4) b x ≠ 0 oder (x < 0) = (x > 0) oder † x † ≠ 0 c ¬ (‒3 < x < 3) oder (x ª ‒3) = (x º 3) oder † x † º 3 2. Konjunktive Ungleichungssysteme mit einer Variablen lösen In einem konjunktiven System von Ungleichungen mit derselben Variablen x wird nach jenen Elementen der Grundmenge gefragt, die sowohl die Ungleichung I als auch die Ungleichung II als auch die Unglei- chung III usw. – kurz: jede der gegebenen Ungleichungen – erfüllen. Beispiel C Löse das Ungøeichungssystem (2 x – 5 < 7) ? (‒3 x – 1 ª ‒7) in N ! Lösung: Wir vereinfachen vorerst beide Ungøeichungen getrennt mitteøs Äquivaøenzumformungen: I) 2 x – 5 < 7 ! +5 2 x < 12 ! 2 (2 ist positiv, das < bøeibt) x < 6 L I = {x * N ‡ x < 6} = {0; 1; 2; 3; 4; 5} II) ‒3 x – 1 ª ‒7 ! +1 ‒3 x ª ‒6 ! (‒3) ( ‒ 3 ist negativ, ª umdrehen zu º) x º 2 L II = {x * N ‡ x º 2} = {2; 3; 4; 5; …} Da die erste und die zweite Bedingung erfüøøt sein müssen, ist die Lösungsmenge L die Durchschnittsmenge der beiden Teiøøösungsmengen L I und L II : L = L I ° L II = {2; 3; 4; 5} 2 6 1 0 L x In Verallgemeinerung des Beispiels formulieren wir den Satz Die Lösungsmenge L eines konjunktiven Systems ist die Durchschnittsmenge der Teiøøösungsmengen L I , L II , L III , … der einzeønen Ungøeichungen. Die Lösungsmenge L ist stets Teiømenge der Grund- menge G des Systems. Meist besitzen die Ungleichungen die gleiche Grundmenge. Warum? Was ist die Grundmenge G, wenn die einzeønen Ungøeichungen verschiedene Grundmengen G 1 , G 2 usw. besitzen? Sollten wirklich einmal die Grundmengen G 1 , G 2 usw. verschieden sein, so ermittelt man die Grundmenge G des Systems als deren Durchschnittsmenge. 3.1 ? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv