Reichel Mathematik 6, Schulbuch

107 3.1 Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen 3 Konjunktive Ungleichungssysteme werden häufig ohne das Zeichen „ ? “ angeschrieben: Insbesondere ist das der Fall, wenn die einzelnen Ungleichungen wie bei linearen Gleichungssystemen untereinander als „Ungleichungsblock“ geschrieben werden. So hätte man das konjunktive Ungleichungssystem in Beispiel C auch wie folgt anschreiben können: I: 2 x – 5 < 7 II: ‒3 x – 1 ª ‒7 3. Fortlaufende Ungleichungen mit einer Variablen lösen Beispiel D Löse die fortøaufende Ungøeichung ‒3 < 2 x + 1 ª 5 x – 1 in R ! Lösung: Wir spaøten die fortøaufende Ungøeichung in zwei konjunktiv verknüpfte Ungøeichungen auf und bestimmen L aøs Durchschnittsmenge der zugehörigen Teiøøösungsmengen: I) ‒3 < 2 x + 1 ‒2 x < 4 x > ‒2 L I = ]‒2; • [ II) 2 x + 1 ª 5 x – 1 ‒3 x ª ‒2 x º 2/3 L II = [2/3; • [ L = L I ° L II = L II ‒2 1 0 L I L II x L 4. Disjunktive Ungleichungssysteme mit einer Variablen lösen In einem disjunktiven System von Ungleichungen mit derselben Variablen x wird nach jenen Elementen der Grundmenge gefragt, die entweder die Ungleichung I oder die Ungleichung II oder die Ungleichung III usw. – kurz: mindestens eine Ungleichung – erfüllen. Beispiel E Löse das Ungøeichungssystem (2 x – 5 < 1) = (‒3 x – 1 ª ‒13) 1 in N , 2 in R ! Lösung: Wir vereinfachen vorerst beide Ungøeichungen getrennt mitteøs Äquivaøenzumformungen: I) 2 x – 5 < 1 ! +5 2 x < 6 ! 2 (< bøeibt) x < 3 1 L I = {x * N‡ x < 3} = {0; 1; 2} 2 L I = ]‒ • ; 3[ II) ‒3 x – 1 ª ‒13 ! +1 ‒3 x ª ‒12 ! (‒3) ( ª umdrehen) x º 4 1 L II = {x * N‡ x º 4} = {4; 5; 6; 7; …} 2 L II = [4; • [ Da die erste oder die zweite Bedingung erfüøøt sein muss, ist die Lösungsmenge L die Vereinigungsmenge der beiden Teiøøösungsmengen L I und L II : L = L I ± L II = 1 N \{3} bzw. 2 R \[3; 4[ 4 3 0 L I L II x L In Verallgemeinerung des Beispiels formulieren wir den Satz Die Lösungsmenge L eines disjunktiven Systems ist die Vereinigungsmenge der Teiøøösungs- mengen L I , L II , L III , … der einzeønen Ungøeichungen. Die Lösungsmenge L ist stets Teiømenge der Grundmenge G des Systems. ? = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv