Reichel Mathematik 6, Schulbuch

109 3.2 Ungleichungen mit Bruchtermen 3 Ungleichungen mit Bruchtermen Beispiel F Löse in R : 1 ___ x – 1 < 2 _ 3 Lösung: 1. Schritt: x – 1 ≠ 0 (Warum?), daher reduziert sich die Grundmenge auf die Definitionsmenge D = R \{1}. 2. Schritt: Bruchfreimachen durch Muøtipøizieren mit dem Hauptnenner, aøso mit (x – 1)·3. Da wir aber nicht wissen, ob (x – 1)·3 > 0 oder < 0 ist (= 0 kann ja nicht eintreten – Warum?), müssen wir, um aøøe Lösungen zu finden, eine Faøøunterscheidung vornehmen, und die Ungøeichung einmaø unter der Annahme (x – 1)·3 > 0 und einmaø unter der Annahme (x – 1)·3 < 0 øösen: Faøø 1: (x – 1)·3 > 0 1 ___ x – 1 < 2 _ 3 ! ·(x – 1)·3 Wegen der Voraussetzung (x – 1)·3 > 0 ändert sich bei Muøtipøikation mit dem Hauptnenner das Ungøeichheitszeichen nicht: 3 < 2·(x – 1) ! +2 5 < 2 x ! 2 2,5 < x Unter Berücksichtigung der Voraussetzung (x – 1)·3 > 0, dh. x > 1, erhäøt man: L 1 = {x * R‡ (2,5 < x) ? (x > 1)} = ]2,5; • [ Faøø 2: (x – 1)·3 < 0 1 ___ x – 1 < 2 _ 3 ! ·(x – 1)·3 Wegen der Voraussetzung (x – 1)·3 < 0 dreht sich bei Muøtipøikation mit dem Hauptnenner das Ungøeichheitszeichen um: 3 > 2·(x – 1) | +2 5 > 2 x | 2 2,5 > x Unter Berücksichtigung der Voraussetzung (x – 1)·3 < 0, dh. x < 1, erhäøt man: L 2 = {x * R‡ (x < 2,5) ? (x < 1)} = ]‒ • ; 1[ 3. Schritt: Da entweder der Faøø 1 oder der Faøø 2 eintritt, ist die gegebene Ungøeichung genau dann erfüøøt, wenn x * L 1 oder x * L 2 giøt. L ist daher die Vereinigungsmenge der Teiøøösungs- mengen L 1 und L 2 : L = L I ± L II = {x * R‡ (x < 1) = (2,5 < x)} = R \[1; 2,5] 1 3 0 L 2 L 1 x L Beispiel G Löse in Z : 2 x + 6 ____ x – 5 º 2 Lösung: 1. Schritt: x – 5 ≠ 0 w D = Z \{5} 2. Schritt: Faøøunterscheidung: Faøø 1: x – 5 º 0 2 x + 6 ____ x – 5 º 2 ! ·(x – 5) 2 x + 6 º 2 x – 10 2 x + 16 º 2 x Diese Ungøeichung ist für aøøe x aus Z erfüøøt. Wegen der Voraussetzung x – 5 > 0 erhäøt man: L 1 = {x * Z‡ x > 5} = {6; 7; 8; …} Faøø 2: x – 5 < 0 2 x + 6 ____ x – 5 ª 2 ! ·(x – 5) 2 x + 6 ª 2 x – 10 2 x + 16 ª 2 x Diese Ungøeichung ist für kein x aus Z erfüøøt (die Voraussetzung x – 5 < 0 spieøt hier keine Roøøe): L 2 = { } L = L 1 ± L 2 = L 1 3.2 = = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv