Reichel Mathematik 6, Schulbuch

11 1.2 Rechnen mit Punkten, Pfeilen und Vektoren 1 Rechnen mit Punkten, Pfeilen und Vektoren Gemäß Kap. 1.1 lassen sich Punkte sowie Vektoren im Raum – durch Pfeile darstellen; das Operieren mit Punkten und Vektoren lässt sich daher in einheitlicher Wei- se als „geometrisches Operieren“ mit Pfeilen bewerkstelligen: Geometrisches Modell – durch geordnete Zahlentripel darstellen; das Operieren mit Punkten und Vektoren lässt sich daher in einheitlicher Weise als „arithmetisches Operieren“ mit geordneten Zahlentripeln bewerkstelligen: Arithmetisches Modell Im Folgenden wollen wir das „Operieren“ in diesen beiden Modellen analog zur ebenen Koordinaten- geometrie (Buch 5. Kl. Kap. 8.3 und 8.4) systematisch untersuchen und gegenüberstellen. 1. Vektoren addieren und subtrahieren Die Vektorsumme _ À a + _ À b definiert man – im geometrischen Modell über das „Aneinanderhängen“ von Pfeilen, welche die beiden gegebenen Vektoren repräsentieren: Parallelogrammregel – im arithmetischen Modell über das Addieren der entsprechen- den (nunmehr drei ) Koordinaten der Vektoren: _ À a + _ À b = “ x a y a z a § + “ x b y b z b § = “ x a + x b y a + y b z a + z b § Die Vektordifferenz _ À a – _ À b kann mittels des zum Vektor _ À b entgegengesetzten Vektors ‒ _ À b auf die Vektor- summe _ À a + (‒ _ À b) zurückgeführt werden. Der Nullvektor des Raumes hat die Darstellung _ À o = (0 1 0 1 0) . Die in Band 5 Kap. 8.3 angegebenen Anwendungen („Schiebung“ ), die Rechenregeln für das Addieren und Subtrahieren von Vektoren können ebenso wie die Dreiecksungleichungen wortwörtlich übernom- men werden, bloß bedeuten die Symbole _ À a und _ À b nun Vektoren des Raumes . Satz Dreiecksungøeichung für die Vektoraddition und Vektorsubtraktion: † _ À a + _ À b † ª † _ À a † + † _ À b † † _ À a – _ À b † º † _ À a † – † _ À b † Beispiel D 1 Zeige, dass die Vektoren _ À a = (2 1 3 1 6) und _ À b = (6 1 ‒3 1 2) gøeich øang sind! 2 In weøche Richtung zeigt daher ihr Summen- bzw. Differenzvektor? 3 Überprüfe die Dreiecksungøeichungen! Lösung: 1 † _ À a † = 9 ________ 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7; _ À b ist gøeich øang, weiø die Koordinaten (abgesehen vom Vorzeichen, das aber beim Quadrieren egaøi- siert wird) nur vertauscht sind. 2 _ À a + _ À b øiefert gemäß der Paraøøeøogrammregeø die Diagonaøe des Paraøøeøogramms. Da dieses wegen † _ À a † = † _ À b † eine Raute ist, ist die Diagonaøe gøeichzeitig Winkeøsymmetraøe. _ À a – _ À b øiefert anaøog die andere (äußere) Winkeøsymmetraøe (Figur). 3 _ À a + _ À b = “ 2 3 6 § + “ 6 ‒3 2 § = “ 8 0 8 § _ À a – _ À b = “ 2 3 6 § – “ 6 ‒3 2 § = “ ‒4 6 4 § † _ À a + _ À b † = 9 ________ 8 2 + 0 2 + 8 2 = 9 ___ 128 ≈ 11,31 † _ À a – _ À b † = 9 __________ (‒4) 2 + 6 2 + 4 2 = 9 __ 68 ≈ 8,25 † _ À a † + † _ À b † = 7 + 7 = 14 > 11,31 = † _ À a + _ À b † † _ À a † – † _ À b † = 7 – 7 = 0 < 8,25 = † _ À a – _ À b † 1.2 Fig. 1.8 a b a b+ F 1.8 A 31 a b -b a b+ a - b 150501-011 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv