Reichel Mathematik 6, Schulbuch

111 3.3 Rückblick und Ausblick 3 Rückblick und Ausblick 1. Logische Strukturen von Ungleichungen erkennen Die bisher vorgenommenen Fallunterscheidungen lassen sich in ihrer „Logik“ auch anders als bisher anlegen. Dazu versucht man die Bruchungleichung in eine der folgenden Gestalten umzuformen: Typ 1: T I (x) ___ T II (x) < 0 oder Typ 1 a: T I (x) ___ T II (x) ª 0 Für Typ 1 (bzw. 1 a) verwendet man den Schluss: „Der Wert eines Bruches ist kleiner (oder gleich) null genau dann, wenn (Fall 1) der Zähler positiv (oder null) und der Nenner negativ ist oder wenn (Fall 2) der Zähler negativ (oder null) und der Nenner positiv ist“. Typ 2: T I (x) ___ T II (x) > 0 oder Typ 2 a: T I (x) ___ T II (x) º 0 Für Typ 2 (bzw. 2 a) verwendet man den Schluss: „Der Wert eines Bruches ist größer (oder gleich) null genau dann, wenn (Fall 1) der Zähler positiv (oder null) und der Nenner positiv ist oder wenn (Fall 2) der Zähler negativ (oder null) und der Nenner negativ ist“. Wir demonstrieren dies an Beispiel H Löse 1 x + 6 ____ 2 x – 3 < 2, 2 x + 6 ____ 2 x – 3 º 2 für G = R ! Vergøeiche die beiden Angaben und ihre Ergebnisse! Lösung: D = R \{1,5} 1 x + 6 ____ 2 x – 3 – 2 < 0 É 12 – 3 x _____ 2 x – 3 < 0 Faøø 1: Zähøer > 0 und Nenner < 0 12 – 3 x > 0 ? 2 x – 3 < 0 ‒3 x > ‒12 2 x < 3 x < 4 x < 1,5 4 0 1 x L 1 = ]‒ • ; 1,5[ = Faøø 2: Zähøer < 0 und Nenner > 0 12 – 3 x < 0 ? 2 x – 3 > 0 ‒3 x < ‒12 2 x > 3 x > 4 x > 1,5 4 0 1 x L 2 = ]4; • [ 4 0 1 x Da Faøø 1 oder Faøø 2 eintreten kann, ist die Gesamtøösung die Vereinigungsmenge der Teiøøösungsmengen: L = L 1 ± L 2 = ]‒ • ; 1,5[ ± ]4; • [ = R \[1,5; 4] 2 x + 6 ____ 2 x – 3 – 2 º 0 É 12 – 3 x _____ 2 x – 3 º 0 Faøø 1: Zähøer º 0 und Nenner > 0 12 – 3 x º 0 ? 2 x – 3 > 0 ‒3 x º ‒12 2 x > 3 x ª 4 x > 1,5 4 0 1 x L 1 = ]1,5; 4] = Faøø 2: Zähøer ª 0 und Nenner < 0 12 – 3 x ª 0 ? 2 x – 3 < 0 ‒3 x ª ‒12 2 x < 3 x º 4 x < 1,5 4 0 1 x L 2 = { } 4 0 x 1 Da Faøø 1 oder Faøø 2 eintreten kann, ist die Gesamtøösung die Vereinigungsmenge der Teiøøösungsmengen: L = L 1 ± L 2 = ]1,5; 4] Die Angaben sind „kompøementär“. Die Lösungen von 1 und 2 ergänzen einander auf D. 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv