Reichel Mathematik 6, Schulbuch

112 Algebraisches Lösen von Ungleichungen mit einer Variablen 3 Ein Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie sich (bes- ser) für CAS-Systeme eignet. So lassen sich Bruchgleichun- gen am TI-92 erst nach Herausarbeitung der „logischen Struktur“ lösen. Erøäutere dies anhand der Figur für Beispieø H! 2. Produktungleichungen kennen Ein anderer, weiterer Vorteil besteht darin, dass diese Methode sich auch auf Produktungleichungen anwenden lässt: Beispiel I Löse (x + 2) (x – 3) > 0! Lösung: Ähnøich wie in Beispieø H überøegen wir: Das øinks stehende Produkt ist genau dann > 0, wenn (Faøø 1) beide Faktoren positiv , oder (Faøø 2) wenn beide Faktoren negativ sind, aøso: Faøø 1: x + 2 > 0 ? x – 3 > 0 x > ‒2 x > 3 L 1 = ]3; • [ Faøø 2: x + 2 < 0 ? x – 3 < 0 x < ‒2 x < 3 L 2 = ]‒ • ; ‒2[ L 1 ‒2 3 0 x L 2 ‒2 3 0 x L ‒2 3 0 x Da Faøø 1 oder Faøø 2 eintreten kann, ist die Gesamtøösung die Vereinigungsmenge der Teiøøösungsmengen: L = L 1 ± L 2 = ]‒ • ; ‒2[ ± ]3; • [ = R \[‒2; 3] Die Produktungleichung in Beispiel I ist eigentlich eine quadratische Ungleichung , wie man durch Ausmultiplizieren sofort sieht. Ist man umgekehrt in der Lage, eine quadratische Ungleichung als Produktungleichung anzuschreiben, so weist Beispiel I den Weg zu ihrer Lösung. Dies ist für reduzible quadratische Ausdrücke unter Anwendung des Satzes von VIETA (vgl. Buch 5. Kl. S. 85) stets möglich: Beispiel J Löse x 2 – 4 x + 3 < 0 für G = Z ! Lösung: Für die zugehörige Gøeichung berechnet man mitteøs der Køeinen Lösungsformeø die Lösungen x 1 = 1 und x 2 = 3. Daher ist x 2 – 4 x + 3 = (x – 1) (x – 3). Damit kann man die Angabe aøs Produktungøeichung (x – 1) (x – 3) < 0 schreiben. Das Produkt ist genau dann < 0, wenn genau einer der Faktoren negativ und genau einer positiv ist. Dafür gibt es zwei Fäøøe: Faøø 1: x – 1 > 0 ? x – 3 < 0 x > 1 x < 3 L 1 = {2} Faøø 2: x – 1 < 0 ? x – 3 > 0 x < 1 x > 3 L 2 = { } F 3.1 = L = L 1 ± L 2 = {2} = Fig. 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv