Reichel Mathematik 6, Schulbuch

116 Exkurs 3 Die Aufgabe aber wird viel schwerer, wenn wir uns auf Punkte mit ganzzahligen Koordinaten beschränken : Fig. 1 x y x y Für kleine Radien können wir die Anzahl N der Punkte leicht abzählen. Fig. 2 x y x y x y x y Du siehst Für 0 < r < 1 ist N = 1 , für 1 ª r < 9 __ 2 ist N = 5 , für 9 __ 2 ª r < 2 ist N = 9 usf. Wie aber ist die Anzahl für r = 1000 oder r = 1000000 ? Betrachten wir dazu einen Kreis mit dem Ra- dius r = 4,2 (strichlierte Linie) und zeichnen in diesem um jeden Punkt mit ganzzahligen Koor- dinaten ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 , so bil- den die äußeren Quadratränder einen Polygonzug. Der Flächeninhalt dieses Polygonzugs entspricht der Anzahl der Gitterpunkte. Vergrößern wir nun den gegebenen Kreis um die halbe Länge einer der Quadratdiagonalen “ d = 9 __ 2 , daher d _ 2 = 9 __ 2 __ 2 § , so muss der Polygonzug zur Gänze innerhalb dieses blauen Kreises liegen. Dieser hat also den Radius r + 9 __ 2 __ 2 . Genauso können wir einen roten Kreis mit einem Radius r – 9 __ 2 __ 2 zeichnen, der zur Gänze innerhalb des Polygonzugs liegt . x y Fig. 3 Berechnen wir nun jeweils den Flächeninhalt des roten und des blauen Kreises, so haben wir eine Abschätzung für den Flächeninhalt des Polygon- zugs und somit für die Anzahl N der Gitterpunkte: π “ r – 9 __ 2 __ 2 § 2 ª N ª π “ r + 9 __ 2 __ 2 § 2 Es ist daher (rechte Seite) N ª π r 2 + 9 __ 2 π r + π _ 2 und (linke Seite) N º π r 2 – 9 __ 2 π r + π _ 2 . Für r º 1 folgt da- raus die Abschätzung ! N – π r 2 ! < 2 π r Wir haben somit die Anzahl der Gitterpunkte durch die Fläche des gegebenen Kreises abge- schätzt, wobei wir eine „Unschärfe“ von der Größe des Kreisumfanges in Kauf genommen haben. Die- ses Resultat geht auf Carl F. GAUSS (1777–1855) zurück, in dessen Nachlass es gefunden wurde. Seit damals beschäftigen sich viele mit der Frage, ob man obige Ungleichung nicht verschärfen könnte, ob insbesondere statt C·r auch C·r α mit 0 < α < 1 verwendet werden könnte. (C ist dabei irgendeine positive Konstante.) 1906 fand der polnische Mathematiker Waclaw SIERPINSKI F 1 F 2 F 3 F 3 F 3 Wie viele Punkte hat ein Kreis? Nun, die Antwort darauf ist leicht. Natürlich unendlich viele. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv