Reichel Mathematik 6, Schulbuch

117 3 (1882–1969) heraus, dass die Abschätzung auch für α = 2/3 richtig ist. Der Exponent α wurde lau- fend verkleinert. Das bisher beste Ergebnis lautet α = 0,63 (HUXLEY 2000). Eine untere Grenze für α fand bereits HARDY 1916, nämlich a º 1 _ 2 . Da man mit der Lösung des Kreisproblems nicht weiter kam, versuchte man dieses zu verall- gemeinern und hoffte, falls man das allgemeinere Problem gelöst hätte, damit auch das Kreisproblem als dessen Spezialfall gelöst zu haben. Zwei Verallgemeinerungen bieten sich an: 1. Man betrachtet statt des Kreises eine Ellipse. x y Fig. 4 2. Man betrachtet statt des Kreises eine Kugel. x y z Fig. 5 Interessant ist, dass man zwar bei der dreidimen- sionalen Kugel zu keiner guten Abschätzung der Zahl der Gitterpunkte kam, wohl aber bei Kugeln der Dimension º 4 . Allerdings lässt sich aus der Lösung für Kugeln mit der Dimension º 4 nicht auf Lösungen für die dreidimensionale Kugel und auch nicht für den Kreis schließen. 2000 zeigte der auch in Wien lehrende Mathe- matiker Ekkehard KRÄTZEL, der einen anderen Lösungsweg einschlug, Folgendes: ! N – π r 2 ! < 38 r 2 _ 3 + 704 r 1 _ 2 + 11 Dieses Resultat hat den Vorteil, dass die Konstan- ten explizit vorliegen. Solche Abzählaufgaben haben zum Teil auch prak- tische Bedeutung. So liefert die Aufgabe „Wie viele Kreise passen in ein Quadrat?“ Hinweise für eine Platz sparende Lagerung von Baumstämmen. Offenbar ist nicht die Lösung optimal, wo die Mittelpunkte der Kreise ein quadratisches Gitter bilden, sondern die, wo sie ein dreieckiges bilden (Fig. 6 oben). Fig. 6 Überträgt man diese Aufgabe in den Raum, sucht also nach der Platz sparendsten Lagerung von Kugeln (Fig. 6 unten), so ist auch hier nicht das dem quadratischen Gitter der Mittelpunkte ent- sprechende kubische Gitter optimal, sondern eine Lagerung, bei der man vom dreieckigen Gitter ausgeht und die nächste Kugelschicht so anordnet, dass die Kugeln der folgenden Schicht so in die Einsenkungen hineingelegt werden, dass sie ein- ander gegenseitig berühren. Du siehst: In der Mathematik gibt es noch viele interessante Dinge zu entdecken! Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv