Reichel Mathematik 6, Schulbuch

118 Folgen und Grenzprozesse In diesem Kapitel wirst du Folgen mit endlich wie auch unendlich vielen Gliedern auf verschiedene Arten beschreiben, • Folgen auf verschiedene Arten graphisch darstellen, • zwei grundlegende Typen von Folgen (nämlich arithmetische und geometrische) untersuchen, • Fragen beantworten wie etwa „Gibt es für eine bestimmte Folge Werte, die nicht über- bzw. un- • terschritten werden können?“ oder „Pendelt sich die Folge auf einen bestimmten Wert ein?“, diese Erkenntnisse auf praktische Fragestellungen anwenden, insbesondere auf solche aus der • Wirtschaft (Stichwort: Zinseszinsrechnung, Kreditraten, usw.). Wiederholung, Vorübungen und Vorschau Folgen gehören zu den wichtigsten „Untersuchungsobjekten“ der Mathematik, haben sie doch viele praktische (alltägliche) wie auch theoretische Anwendungen. Im Alltag liegen ihre Anwendungen insbe- sondere im Bereich des Banken- und Versicherungswesens, wo Kapitalien – durch jährliche Zinsgut- schriften, (regelmäßige) Ein- oder Auszahlungen etc. – „schrittweise“ ihren Wert ändern. In der Theorie treten sie in „natürlicher Weise“ unter anderem bei Iterations- und Näherungsverfahren auf, allgemein: bei der Beschreibung von sich „schrittweise“ ändernden Größen und Abläufen. Darüber hinaus stellen sie insbesondere als unendliche Folgen ein wichtiges Hilfsmittel („Werkzeug“) für die exakte Erfassung und Definition mathematischer Begriffe dar, das wir – denke an die reellen Zahlen (vgl. Buch 5. Kl. Kap. 2.8) – schon verwendet haben oder später benötigen werden – zB bei den Begriffen Stetigkeit , Länge gekrümmter Linien und I nhalt gekrümmter Flächen (worauf wir erst in der 8. Klasse näher eingehen werden). Die folgenden Beispiele geben dir – sozusagen als intuitive Einführung – einen ersten Einblick in die Arbeitsweise mit Folgen und ihren allenfalls existierenden Grenzwerten. 1. Umfang und Flächeninhalt eines Kreises (näherungsweise) berechnen Die Figur zeigt anschaulich, dass der Umfang u bzw. der Flächeninhalt A des Kreises schrittweise „von innen“ durch die Umfänge u n bzw. die Flächeninhalte A n der eingeschriebenen regelmäßigen n-Ecke ( n = 3 , 4 , 5 , 6 , …) approximiert 1 (angenähert) wird. Der Umfang u bzw. der Flächeninhalt A ist sozusa- gen der „Grenzwert“, gegen den die „Zahlenfolge“ k u n l bzw. k A n l „strebt“ . 2. Die Kreiszahl π (näherungsweise) berechnen Ist der Radius des obigen Kreises insbesondere 1 , so ist u = 2· π und A = π . Somit zeigt Fig. 4.1 auch ein Verfahren zur Berechnung von π . Allerdings ist π eine irrationale Zahl, dh., sie besitzt unendlich viele Dezimalen (ungleich null) und sie ist nicht periodisch . Die Schreibweise π = 3,1415926535… mit drei Punkten zeigt an, dass π durch eine Dezimaldarstellung zwar nicht ganz genau erfasst werden kann, aber durch die Zahlenfolge k 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; … l schrittweise immer genauer approxi- miert wird. Dieses Prinzip der näherungsweisen aber beliebig genauen Erfassung und Darstellung gewis- ser Größen und Zahlen ist ein besonders wichtiges Denkprinzip der höheren Mathematik. Du kennst es längst von der Darstellung der Brüche durch periodische Dezimalzahlen. ZB wird die Zahl 1/3 durch die Folge k 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; … l beliebig genau approximiert. Erkøäre! 1 proximus (lat.) … benachbart; approach (engl.) … annähern 4.0 K 7 A 488 Fig. 4.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv