Reichel Mathematik 6, Schulbuch

119 4.0 Wiederholung, Vorübungen und Vorschau 4 Will man viele Dezimalen der Zahl π berechnen, so eignet sich das in Punkt 1. besprochene Verfahren nicht gut. Es gibt aber viele andere Verfahren zur schrittweisen Berechnung der Dezimalen von π ; man kann sich zB gewisse trigonometrische Formeln zunutze machen . Im Jahre 1989 haben zwei US-Amerikaner ein Verfahren entwickelt, mit welchem sie π auf 460 Miøøio- nen Dezimalstellen berechnen konnten. Aber schon 1990 wurde an der Columbia-University (New York) dieser Rekord unter Verwendung zweier IBM ES/3090 Computer mit mehr als einer Milliarde Dezimal- stellen gebrochen; 1997 lag der Rekord schon bei über 6 Miøøiarden Stellen, 2010 wurden auf einem han- delsüblichen PC 2,7 Biøøionen Stellen berechnet (vgl. www.pi314.at/Mathematik.html ). Derartige Verfah- ren dien(t)en allerdings „nur“ der Erprobung der dabei verwendeten Supercomputer. In der technischen, physikalischen, astronomischen usw. Praxis kommt man mit maximal 32 Dezimalstellen völlig aus. π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 ... 3. Wurzeln (näherungsweise) mit dem HERON’schen Verfahren berechnen Hast du dich schon einmal gefragt, wie der Taschenrechner 9 __ a berechnet? Mit anderen Worten: Wie kann man (nur durch Anwendung der elementaren Rechenoperationen + , – , · und  ) die Wurzel aus a ( a > 0 ) berechnen? Du weißt ja: für a * N * ist 9 __ a irrational, außer a ist eine Quadratzahl. Wir brauchen also wieder ein Verfahren , mit dem man die Dezimalen von 9 __ a schrittweise („iterativ“ 1 ) berechnen kann. Und überdies soll das Verfahren möglichst rasch und einfach „funktionieren“. Ein derartiges Verfahren ist das so genannte HERON’sche Verfahren . Es „produziert“ gemäß der fol- genden geometrischen Idee schrittweise immer bessere Näherungswerte x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … für 9 __ a : Sei x 1 eine (zB durch Probieren gefundene) Näherung für 9 __ a „von oben“, dh. 9 __ a < x 1 . Dann ist y 1 = a/x 1 wegen a/x 1 ≈ a/ 9 __ a = 9 __ a auch eine Näherung von 9 __ a , und zwar „von unten“, dh. y 1 < 9 __ a . Die Idee ist nun die, x 1 als die längere und y 1 als die kürzere Seitenlänge eines Rechtecks aufzufassen, das flächengleich ist zum Quadrat mit dem Flächeninhalt a (und daher der Sei- tenlänge 9 __ a ). Dabei gilt: Je „quadratischer“ dieses flächenglei- che Rechteck ist, umso besser nähert x 1 (und damit auch y 1 ) 9 __ a an. Bildet man daher zwei neue Rechteckseiten x 2 = 1 _ 2 · “ x 1 + a __ x 1 § und y 2 = a __ x 2 so ist x 2 (als arithmetisches Mittel der ersten Rechteckseiten- längen) kleiner (kürzer) als x 1 und y 2 damit größer (länger) als y 1 . Das Rechteck ist somit – wie gewünscht – quadratischer. Noch quadratischer wird es durch analoge Berechnung von x 3 und y 3 aus x 2 und y 2 , allgemein durch Berechnung der (n + 1) - ten Werte x n + 1 und y n + 1 aus x n und y n gemäß x n + 1 = 1 _ 2 · “ x n + a __ x n § und y n + 1 = a ___ x n + 1 Man erhält so zwei Folgen k x 1 ; x 2 ; …; x n l und k y 1 ; y 2 ; …; y n l , deren Glieder mit wachsendem Index n (sehr schnell) 9 __ a immer bes- ser annähern. Erøäutere an Fig. 4.2 die Berechnung 2 von 9 __ 9! 1 itero (lat.) … wiederholen 2 Diese Berechnung ist für uns trivial, für den Computer aber ebenso „schwer” wie die Berechnung von 9 __ 11 etc. Begründe! A 494 + A 501 Fig. 4.2 a = 9 a = 9 1. Schritt 2. Schritt = 4,5 x 1 Länge: = 2 x 1 y 1 = 9 Breite: = 3,25 = ·(4,5+2) 2 1 x 2 Länge: = 2,77 x 2 9 Breite: y 2 = 150501-119 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv