Reichel Mathematik 6, Schulbuch

12 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Benötigt man die Richtungen der Winkelsymmetralen zwischen zwei ungleich langen (Richtungs-)Vektoren _ À a und _ À b , so muss man diese eben – was ja für die Festlegung einer Richtung belanglos ist – auf die glei- che Länge (meist 1 , also zu Einheitsvektoren ) strecken oder stauchen . Dafür braucht man die folgende Rechenoperation: 2. Einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren Für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl gelten im dreidimensionalen Fall wortwörtlich die- selben Überlegungen und Rechenregeln wie im zweidimensionalen (vgl. Buch 5. Kl. Kap. 8.4), bloß be- deuten die Vektorsymbole _ À a und _ À b nunmehr Vektoren des Raumes : _ À b = v· _ À a = v· “ x a y a z a § = “ v·x a v·y a v·z a § Die wesentlichste Eigenschaft des so entstandenen Vektors _ À b besteht darin, dass er zum gegebenen Vektor _ À a parallel – man sagt auch kollinear – ist. Anwendungen sind der Satz Paraøøeøitätskriterium: Zwei Vektoren (Pfeiøe) sind genau dann zueinander paraøøeø, wenn der eine Vektor (Pfeiø) ein „Vieøfaches“ (das v-fache) des anderen Vektors (Pfeiøs) ist 1 , dh.: _ À a u _ À b É _ À b = v· _ À a wobei v * R \{0} und der Satz Der zum Vektor _ À a gehörige Einheitsvektor hat die Darsteøøung __ À a 0 = 1 __ † _ À a † · _ À a. Beispiel E Untersuche, ob der angegebene Körper ein Paraøøeøepiped ist, dh., ob er von drei Paaren zueinander paraøøeøer und kongruenter Paraøøeøogramme begrenzt wird ! A (1 1 2 1 3), B (5 1 6 1 9), C (‒3 1 ‒2 1 ‒2), D (‒1 1 0 1 1), E (1 1 2 1 10), F (5 1 6 1 16), G (‒3 1 ‒2 1 5), H (‒1 1 0 1 8) Lösung: Wir untersuchen Paare gegenüberøiegender Seiten auf Paraøøeøität, zB: __ À BC = “ ‒8 ‒8 ‒11 § , __ À AD = “ ‒2 ‒2 ‒2 § und __ À AB = “ 4 4 6 § , __ À DC = “ ‒2 ‒2 ‒3 § Es gibt kein v * R mit __ À AD = v· __ À BC w __ À AD û __ À BC. Aøso ist das Viereck ABCD kein Paraøøeøogramm (und der Körper sicher kein Paraøøeøepiped). Wegen __ À AB = (‒2)· __ À DC hat das Viereck ABCD jedoch auch ein Paar paraøøeøer Seiten; es ist aøso ein Trapez. Wegen __ À AE = E – A = “ 0 0 7 § = __ À BF = __ À CG = __ À DH ist der Körper daher ein Prisma mit trapezförmiger Grundføäche. 3. Vektorgleichungen lösen Vektoradditionen (Vektorsubtraktionen) und Multiplikationen von Vektoren mit Zahlen kann man mit- einander „kombinieren“. Definition Sind a 1 , a 2 , …, a k Vektoren des Raumes 2 und v 1 , v 2 , … , v k reeøøe Zahøen, dann heißt ein Ausdruck der Ge- staøt v 1 · __ À a 1 + v 2 · __ À a 2 + … + v k · __ À a k (Normaøform einer) Linearkombination der k Vektoren __ À a 1 bis __ À a k . 1 Umgekehrt gilt dann auch: _ À a = _ v· _ À b , wobei _ v = 1/v ist. Das ist (mit) ein Grund, v ≠ 0 vorauszusetzen. 2 Der Fall von Vektoren der Ebene lässt sich wegen (x 1 y) š (x 1 y 1 0) hier einreihen. Fig. 1.9 a b F 1.9 A 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv