Reichel Mathematik 6, Schulbuch

120 Folgen und Grenzprozesse 4 Da eine der Folgen zur Berechnung von 9 __ a ausreicht, findet man in den Formelsammlungen meist den Satz HERON’sches Näherungsverfahren: Die Foøge k x n l mit x n + 1 = 1 _ 2 · “ x n + a __ x n § strebt gegen 9 __ a. 4. Näherungsverfahren als grundlegendes mathematisches Konzept intuitiv verstehen Bei allen oben besprochenen Beispielen ging es im Prinzip um folgende Frage: Man ist an einer be- stimmten Zahl (Zahlengröße) interessiert (zB an π , 9 __ a mit a * R + , …), deren Berechnung nicht ohne wei- teres, und vor allem nicht unmittelbar und „direkt“, möglich ist. Man kennt aber Verfahren, die es ge- statten, die gesuchte Zahl schrittweise zu berechnen, dh. mit immer größer werdender Genauigkeit zu approximieren. (Das allererste derartige Verfahren, das du kennen gelernt hast, ist das „händische Divi- dieren“ zweier Zahlen gemäß dem „klassischen Divisionsalgorithmus“.) Jedes derartige Verfahren liefert eine Abfolge („Folge“) von Zahlen x 1 , x 2 , x 3 , …, die der gesuchten Zahl schließlich beliebig nahe kommen. Man sagt: Die Zahlenfolge k x 1 ; x 2 ; x 3 ; … l „konvergiert“ („strebt“) gegen die gewünschte Zahl. Nun sieht man es einer Zahlenfolge aber oft nicht gleich an, ob sie konvergiert oder nicht, und vor al- lem erkennt man meistens nicht leicht, gegen welche Zahl die gegebene Folge konvergiert. Schluss- endlich kann man sich bei der Beurteilung und Beantwortung derartiger Fragen gewaltig irren. Deswe- gen brauchen wir ein genaueres Verständnis, eine exakte Definition der „Konvergenz“ und gewisse Regeln für das „Arbeiten“ mit konvergenten Folgen, worauf wir insbesondere in Kap. 4.3 eingehen wer- den. Erste Überlegungen dazu gab es schon früher. Denn der „Übergang“ von den „bloß“ endlichen zu den unendlichen Dezimalzahlen lässt sich nämlich nur durch (spezielle) Grenzwertbetrachtungen (Konver- genzbetrachtungen) mathematisch sauber erfassen und beschreiben. Und dass man unendliche Dezi- malzahlen unbedingt benötigt, hast du ja zB schon in der 4. Klasse gesehen, als Wurzeln und Wurzelzie- hen besprochen wurden. Überhaupt hängt die Frage nach dem „Wesen“ der reellen Zahlen (vgl. Buch 5. Kl. S. 64f) eng mit dem Konvergenzproblem zusammen. Auch die meisten Werte der trigonometrischen Funktionen (vgl. Buch 5. Kl. S. 200f) sind irrationale Zahlen und somit erst durch unendliche nichtperio- dische Dezimalzahlen vollständig erfassbar! 488 Auf den ersten Bøick scheint es überaus überraschend, dass die Zahø π sowohø in der Formeø für den Føächeninhaøt aøs auch in der Formeø für den Umfang des Kreises auftritt, handeøt es sich doch um an sich vöøøig verschiedene Fragesteøøungen. Die foøgende, rein anschauøiche Überøegung zeigt dir, warum das so ist: Betrachte das dem Kreis (Radius r) eingeschriebene regeømäßige n-Eck mit den Bezeichnun- gen der Fig. 4.3! a Beweise: Wenn A n der Føächeninhaøt und u n der Umfang dieses n-Ecks ist, dann giøt: A n = 1 _ 2 ·h n ·u n b Wenn nun n immer größer und größer wird (n ¥• ), nähert sich rein anschauøich der Umfang u n schrittweise immer mehr dem Umfang u des Kreises an und die Føächeninhaøte A n füøøen den Føächen- inhaøt A des Kreises immer besser aus. Wir schreiben A n ¥ A und u n ¥ u (wobei n ¥• ). Ganz anaøog giøt dann auch h n ¥ r. Erkøäre mit eigenen Worten! Bei diesem „Grenzübergang“ geht dann die Formeø A n = 1/2·h n ·u n schøießøich über in eine Formeø, die den Zusammenhang zwischen Føächeninhaøt und Umfang des Kreises beschreibt. Weøche Formeø ist dies? Überprüfe diese Formeø durch Einsetzen der Formeøn für den Umfang u und für den Føächeninhaøt A des Kreises! Fig. 4.3 r s n h n M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv