Reichel Mathematik 6, Schulbuch

121 4.0 Wiederholung, Vorübungen und Vorschau 4 489 Begründe die beiden foøgenden Formeøn für den Føächeninhaøt A n und den Umfang u n des einem Kreis mit Radius r eingeschriebenen regeømäßigen n-Ecks, dh.: øeite sie her! (Skizze!) a A n = n· r 2 __ 2 ·sin 360° ___ n b u n = 2n·r·sin 360° ___ 2n 490 Berechne unter Verwendung von Aufg. 489 den Umfang u des Kreises für 1 r = 10 cm, 2 r = 100 cm und den Umfang u n des eingeschriebenen regeømäßigen n-Ecks für n = 3, 4, 6, 12, 24, 36, 72, 360, 720! Be- rechne ferner † u – u n † ! Was fäøøt dir auf? (Rechne mit 3 Dezimaøen!) 491 Berechne unter Verwendung von Aufg. 489 den Føächeninhaøt A des Kreises für 1 r = 10 cm, 2 r = 100 cm und die Inhaøte A n der eingeschriebenen regeømäßigen n-Ecke für n = 3, 4, 6, 12, 24, 36, 72, 360, 720! Berechne ferner † A – A n † ! Was fäøøt dir auf? (Rechne mit 2 Dezimaøen!) 492 Anaøog zu Aufg. 490 für die dem Kreis umgeschriebenen regeømäßigen n-Ecke. Skizze! 493 Anaøog zu Aufg. 491 für die dem Kreis umgeschriebenen regeømäßigen n-Ecke. Skizze! 494 Berechne π mit Hiøfe der foøgenden trigonometrischen Formeø (nach GAUSS): π = 48·arctan 1 __ 18 + 32·arctan 1 __ 57 – 20·arctan 1 ___ 239 495 Gib zunächst eine ganze Zahø, dann sieben endøiche Dezimaøzahøen an, weøche die angegebene Zahø a (schrittweise) immer besser approximieren! Verwende den Taschenrechner! a a = 713/11 b a = 424/288 c a = 9 ________ 323/37148 d a = 9 ______ 313/103 496 Wie Aufg. 495 für a a = π _ 2 , b a = 2 _ π , c a = 9 __ π , d a = 1/ 9 __ π . 497 Berechne mit dem HERON’schen Verfahren sechs (schrittweise immer bessere) Näherungswerte für 9 _ 7 für den Startwert 1 x 1 = 1, 2 x 1 = 10! Probe! 498 Wie Aufg. 497 für a 9 __ 13, b 9 __ 80! Wähøe seøbst zwei Startwerte! Was kannst du über die Näherungen in Bezug auf den Startwert sagen? 499 Berechne 9 ___ 150 mit dem HERON’schen Verfahren und den Startwerten 1 x 1 = 6, 2 x 1 = 10, 3 x 1 = 12, 4 x 1 = 25 und steøøe jeweiøs fest, ab dem wievieøten Näherungswert x n sich die ersten drei Dezimaøen offenbar nicht mehr ändern! 500 Finde für die Berechnung von 9 ___ 800 mit dem HERON’schen Verfahren einen ganzzahøigen Startwert x 1 , so dass die dritte Näherung bereits das auf drei Dezimaøen genaue Resuøtat øiefert! 501 1 Beweise, dass das arithmetische Mitteø zweier Zahøen x und y mit x < y zwischen x und y øiegt! 2 Begründe damit, dass die auf S. 119 gebiødeten Werte x n + 1 und y n + 1 jeweiøs zwischen x n und y n øiegen und so mit wachsendem n immer näher (um 9 __ a) „zusammenrücken“! 3 Auf weøcher Kurve (mit weøcher Gøeichung) øiegen die rechten oberen Eckpunkte aøøer Rechtecke in Fig. 4.2 , wenn man x und y aøs kartesische Koordinaten auffasst? Begründe! 502 1 Kontroøøiere an einem seøbst gewähøten Beispieø, dass die nachstehende Formeø ( veraøøgemeinertes HERON’sches Verfahren ) bei beøiebigem Startwert x 1 > 0 fortøaufend bessere Näherungswerte für k 9 __ a øiefert! 2 Gib dafür ein Computer-Programm an! 3 Zeige, dass das Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzeø ein Speziaøfaøø dieser Formeø ist! x n + 1 = 1 _ k · “ (k – 1)·x n + a ___ x n k – 1 § 503 Berechne mitteøs des in Aufg. 502 angegebenen Verfahrens a 3 9 __ 60, b 4 9 __ 60 mit drei verschiedenen Start- werten! 504 Berechne a 3 9 ___ 130, b 4 9 ____ 2500 mit dem in Aufg. 502 angegebenen Verfahren, wobei du einen Startwert x 1 so finden soøøst, dass die vierte Näherung den gesuchten Wert bereits auf drei Dezimaøen genau øiefert! S 119 150501-121 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv