Reichel Mathematik 6, Schulbuch

122 Folgen und Grenzprozesse 4 Unendliche Folgen – Explizite und rekursive Beschreibung 1. Den Folgenbegriff kennen Um den Begriff der Zahlenfolge genauer zu verstehen, beginnen wir mit einem Beispiel, wie du es viel- leicht aus Rätselheften oder Intelligenztests kennst: Beispiel A Unter a bis f sind Anfangsstücke von Zahøenfoøgen gegeben. 1 Nach weøchem Prinzip könn(t)en sie gebiødet worden sein? 2 Setze dementsprechend die Foøge um jeweiøs vier Gøieder fort! a ‒11; ‒7; ‒3; 1; … b 2; 5; 10; 17; … c 9 __ 2; 2; 2 9 __ 2; 4; … d 1/2; ‒2/3; 3/4; ‒4/5; … e 1; 1/2; 1; 1/3; 1; 1/4; … f 4; 1; 4; 2; 1; 3; … Lösung: a Die Vorschrift øautet offenbar: „Addiere ausgehend von ‒11 stets 4!“ Die Foøge scheint aøso durch die Zahøen 5; 9; 13; 17; … fortgesetzt zu werden. b Ein mögøiches „Biødungsgesetz“ erkennst du aus foøgender Skizze: 2 5 10 17 … Die weiteren Zahøen øauten demgemäß: 26; 37; 50; 65; … +3 +5 +7 c 9 __ 2 2 2· 9 __ 2 4 … Die weiteren Zahøen øauten demgemäß: 4· 9 __ 2; 8; 8· 9 __ 2; 16; … · 9 __ 2 · 9 __ 2 · 9 __ 2 d Hier scheint foøgendes Biødungsgesetz zu passen: „Bei abwechseøndem Vorzeichen erhöhen sich Zähøer und Nenner immer um 1. Der Nenner ist jeweiøs um 1 größer aøs der Zähøer, wobei der erste Zähøer 1 ist.“ (Versuche, dasseøbe anders auszudrücken!) Demgemäß øauten die foøgenden Zahøen: 5/6; ‒6/7; 7/8; ‒8/9; … e Jedermann würde die Foøge wohø wie foøgt fortsetzen: 1; 1/5; 1; 1/6; … f Hier kannst du sicherøich kein Biødungsgesetz erraten. Bei den Ziffern handeøt es sich um die ersten Nachkommasteøøen der Dezimaøentwickøung 1 von 9 __ 2. Demgemäß wäre die Foøge wie foøgt fortzusetzen: 5; 6; 2; 3; … Die Beantwortung der obigen Fragen ist dir sicherlich nicht schwer gefallen. Dennoch sind derartige Aufgaben mit einem großen ACHTUNG – VORSICHT zu versehen. Das Bildungsgesetz einer unendlichen Folge kann aus nur endlich vielen Gliedern nämlich niemals eindeutig bestimmt werden. So könnten die Zahlen 2 ; 3 ; 6 ; … genauso gut durch 7 ; 14 ; 15 ; … fortgesetzt werden („plus 1 , dann verdoppeln, usw.“) wie durch 11 ; 18 ; 27 ; 38 ; … („ x n = (n – 1) 2 + 2, n = 1, 2, 3, … “). Definition Eine Abfoøge von Zahøen k x 1 ; x 2 ; x 3 ; … l heißt eine (unendøiche) Zahøenfoøge k x n l , wenn ein „Biødungs- gesetz“ bekannt ist, weøches es gestattet, zu jeder natürøichen Zahø n = 1, 2, 3, … das zugehörige Foøgengøied anzugeben. x 1 heißt das erste Gøied der Foøge, x 2 das zweite usw. x n heißt das n-te oder „ aøøgemeine “ Gøied der Foøge. Die natürøiche Zahø n heißt der (Zähø-)Index des Foøgengøiedes x n ; die- ser Index zeigt an, das wievieøte Gøied der Foøge gemeint ist. Bemerkungen: 1) Nach dieser Definition können Folgen als jener „spezielle Typ“ von Funktionen aufgefasst werden, bei dem die Definitionsmenge N (bzw. N * ) ist. Mit anderen Worten: bei dem jeder natürlichen Zahl n (dem Index) eine reelle Zahl x n (ein Folgenglied) zugeordnet wird. Alles, was wir daher in der 5. Klas- se über Funktionen gelernt haben, kann hier „übernommen“ werden. Erøäutere! 2) Bei manchen Aufgaben erweist es sich als nützlich, den Index bei 0 statt bei 1 beginnen zu lassen, worauf wir dann natürlich besonders hinweisen. Statt n wird als Index oft auch der Buchstabe i oder j oder k verwendet. 1 9 __ 2 = 1,414213562373095048801688724209698… ist irrational! 4.1 Nur zu Prü zwecken – Eigentum des Verlags öbv