Reichel Mathematik 6, Schulbuch

123 4.1 Unendliche Folgen – Explizite und rekursive Beschreibung 4 3) Die Reihenfolge der Aufzählung ist besonders wichtig. Unterscheide daher zwischen einer Folge k x n ‡ n = 1, 2, 3, … l und der Menge {x n ‡ n = 1, 2, 3, …} der Zahlen dieser Folge! Bei der Aufzählung der Elemente einer Menge kommt es bekanntlich nicht auf die Reihenfolge an! Daher ist {2; 4; 6; 8; …} = {4; 2; 8; 6; …}, ABER k 2; 4; 6; 8; … l ≠ k 4; 2; 8; 6; … l ! 4) In einer Folge können mehrere (oder sogar lauter) gleiche (nur durch den Index unterschiedene) Fol- genglieder auftreten, während in einer Menge jedes Element genau einmal auftritt. 5) Statt Folge sagt man auch Liste oder Vektor (vgl. Buch 5. Kl. S. 230), insbesondere wenn man von endlichen Folgen (also von Folgen mit nur endlich vielen Gliedern) spricht . 2. Folgen auf verschiedene Arten durch Bildungsgesetze darstellen Laut Definition gehört zu einer Folge ein Bildungsgesetz , dh. eine Vorschrift, die angibt, wie die Glieder einer Folge zu berechnen sind. Ein solches Bildungsgesetz kann verbal (wie in Beispiel A f ) oder geo- metrisch (vgl. etwa Fig. 4.11 auf S. 137) oder – weit wichtiger – als „Formel“ vorliegen: Explizite (Term-)Darstellung Das bedeutet: Man gibt einen Term zur Berechnung des n-ten Gliedes x n aus dem Zählindex n an. ZB beschreibt x n = 2n – 1 die Folge k 1; 3; 5; … l x n = (‒1) n die Folge k ‒1; +1; ‒1; … l Rekursive Darstellung 1 Das bedeutet: Man gibt an, wie ein Folgenglied aus dem (den) vorhergehenden Folgenglied(ern) zu bilden ist. Die Folge kann dann schrittweise berechnet und aufgeschrieben werden. ZB beschreibt x 1 = 2, x n + 1 = x n 2 + 2 die Folge k 2; 6; 38; 1446; … l x 1 = 1; x 2 = 2, x n + 2 = x n + 1 + x n die Folge k 1; 2; 3; 5; 8; … l Beispiel A (Fortsetzung) Versuche, für die Foøgen in Beispieø A (unter Verwendung der dortigen Lösungen) eine expøizite (Term-)Darsteøøung oder eine rekursive Beschreibung oder – am besten – beides zu geben! Lösung: a Die rekursive Darsteøøung ist hier einfach: x 1 = ‒11, x n + 1 = x n + 4 Aøs expøizite Darsteøøung erhäøt man: x n = ‒11 + (n – 1)·4. Erkøäre! b Rekursiv: x 1 = 2, x n + 1 = x n + (2n + 1) Eine expøizite Darsteøøung von x n ist hier reøativ schwer zu finden. c Hier sind beide Formen øeicht anzugeben. Rekursiv: x 1 = 9 __ 2, x n + 1 = x n · 9 __ 2 Expøizit: x n = “ 9 __ 2 § n d Hier wieder ist es schwer , eine rekursive Darsteøøung zu finden. Eine expøizite Darsteøøung ist aber offenbar: x n = (‒1) n + 1 · n ___ n + 1 e Auch hier ist es schwer , eine rekursive Darsteøøung zu finden. Bei der expøiziten Darsteøøung macht man am besten eine Faøøunterscheidung: 1, wenn n ungerade x n = 2 ___ n + 2 , wenn n gerade ist f Hier kennt man bisher weder eine expøizite Darsteøøung von x n noch eine rekursive Darsteøøung. Offensichtlich ist einmal diese, dann jene Darstellungsform günstiger. Oft kann man beide angeben, manchmal keine. Das „Umrechnen-Können“ von einer Darstellung in die andere ist jedenfalls wichtig, insbesondere in der Informatik. Gib eine Termdarsteøøung der foøgenden Foøge an : Definition Unter der Fakuøtätsfunktion n! (sprich „n Fakuøtät“ oder „n-Faktorieøøe“) versteht man die Funktion !: N ¥ N mit 0! = 1 und n! = n·(n – 1)! 1 recursus (lat.) … Rücklauf, Rückkehr S 16 A 523 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv