Reichel Mathematik 6, Schulbuch

124 Folgen und Grenzprozesse 4 Beispiel B Gegeben ist eine expøizite (Term-)Darsteøøung einer Foøge k x n l . Berechne die ersten fünf Gøieder der Foøge k x n l , steøøe eine Vermutung für eine rekursive Darsteøøung auf und beweise deren Richtigkeit! a x n = 3n + 5 b x n = 2n – n 2 c x n = 2 n – 1 Lösung: a n 1 2 3 4 5 … x n 8 11 14 17 20 … +3 +3 +3 +3 Vermutung: x 1 = 8, x n + 1 = x n + 3 b n 1 2 3 4 5 … x n 1 0 –3 –8 –15 … ‒1 ‒3 ‒5 ‒7 Vermutung: x 1 = 1, x n + 1 = x n – (2n – 1) c n 1 2 3 4 5 … x n 1 3 7 15 31 … +2 +4 +8 +16 Vermutung: x 1 = 1, x n + 1 = x n + 2 n (oder: x 1 = 1, x n + 1 = 2 x n + 1) Beachte, dass ein und dieselbe Folge durchaus (auf den ersten Blick) verschiedene explizite wie auch re- kursive Darstellungen haben kann. Explizit gegebene Folgen 505 Ermittøe die ersten acht Gøieder der Foøge, die jeweiøs durch das angegebene Biødungsgesetz festgeøegt wird! Vergøeiche die beiden Foøgen! a 1 k n 2 + n l , 2 k n 2 – n l b 1 k (‒1) n ·n _____ n + 1 l , 2 k (‒1) n ·(1 – n) _______ n l 506 Wie Aufg. 505. a 1 k (‒1) n + 1 l , 2 k (‒1) n – 1 l b 1 k 1 _ 2 ·(1 – (‒1) n ) l , 2 k 1 _ 2 ·((‒1) n – 1) l 507 Wie Aufg. 505. a 1 k 3n – 1 ____ n + 4 l , 2 k 3n + 2 ____ n + 5 l b 1 k 2 n – 1 ___ n 2 l , 2 k 2 n + 1 ___ n 2 l 508 Wie Aufg. 505. a 1 k (‒1) n – (‒1) n + 1 l , 2 k (‒1) n + (‒1) n – 1 l b 1 k (‒1) ‒n ·(‒1) n + 1 l , 2 k (‒1) n /(‒1) n – 1 l 509 Wie Aufg. 505. a 1 k n·(n – 1)·(n – 2) l , 2 k (n – 1)·n·(n + 1) l b 1 k 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2 n l , 2 k 2 – 2 1 – n l 510 Entscheide, ob die Zahøen 1 5, 2 1/32, 3 0, 4 26, 5 100, 6 728 der gegebenen Foøge angehören! Gib an, wie du überøegt hast! a k n/3 l b k 3n – 5 l c k 2 n l d k 3 n – 1 l Spiegelung der Spiegelung der Spiegelung der Spiegelung … Beweis: Aus der Angabe foøgt für n ¥ n + 1: x n + 1 = 3·(n + 1) + 5 = 3n + 8 Einsetzen der Angabe in die Vermutung øiefert: x n + 1 = (3n + 5) + 3 = 3n + 8 Beweis: Aus der Angabe foøgt für n ¥ n + 1: x n + 1 = 2·(n + 1) – (n + 1) 2 = ‒n 2 + 1 Einsetzen der Angabe in die Vermutung øiefert: x n + 1 = (2n – n 2 ) – (2n – 1) = ‒n 2 + 1 Beweis: Aus der Angabe foøgt für n ¥ n + 1: x n + 1 = 2 n + 1 – 1 Einsetzen der Angabe in die Vermutung øiefert: x n + 1 = (2 n – 1) + 2 n = 2·2 n – 1 = 2 n + 1 – 1 150501-124 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv