Reichel Mathematik 6, Schulbuch

125 4.1 Unendliche Folgen – Explizite und rekursive Beschreibung 4 Rekursiv gegebene Folgen 511 Ermittøe die ersten sechs Gøieder der foøgenden rekursiv definierten Zahøenfoøgen! a a 1 = 1, a n + 1 = 1 – a n b a 1 = ‒1, a n + 1 = 1 + a n c a 1 = 1; a 2 = 2, a n + 2 = a n + a n + 1 _____ 2 d a 1 = 1; a 2 = 2, a n + 2 = a n – a n + 1 _____ 2 512 Bestimme die ersten neun Foøgengøieder! a a 1 = ‒1; a 2 = ‒2, a n + 2 = a n ·a n + 1 b a 1 = 2; a 2 = 0, a n + 2 = a n – a n + 1 c a 1 = 5; a 2 = 1, a n + 2 = a n a n + 1 d a 1 = 1; a 2 = 1, a n + 2 = a n + 1 – a n Vermischte Aufgaben 513 Ermittøe die ersten zehn Gøieder der Foøge k a n l mit nachstehendem Biødungsgesetz! a a n = Anzahø der Teiøer von n b a n = n-te Nachkommasteøøe der Dezimaøbruchentwickøung des Bruches 4 __ 11 514 Gegeben seien einige Gøieder einer Zahøenfoøge. Gib mindestens ein mögøiches Biødungsgesetz der Foøge (rekursiv, expøizit oder in Worten) an und ergänze so, dass a 1 , a 2 , …, a 8 vorøiegen! a a 1 = ‒17; a 2 = ‒23; a 3 = ‒29 b a 1 = 1; a 2 = 2; a 3 = 3 c a 3 = 3; a 4 = 18; a 5 = 9; a 6 = 54 d a 1 = 1/1; a 2 = ‒1/2; a 3 = 1/6; a 4 = ‒1/24 e a 3 = 4; a 4 = 7/2; a 5 = 3 f a 2 = 4/3; a 3 = 6/5; a 4 = 8/7 g a 3 = 5; a 4 = 2,5; a 5 = 1,25 h a 4 = ‒2; a 5 = 2; a 6 = ‒2 515 Berechne die ersten fünf Gøieder der Foøge k x n l und steøøe eine Vermutung für die expøizite Termdar- steøøung des n-ten Foøgengøiedes x n auf! Prüfe die Übereinstimmung beider Darsteøøungen beim dritten bis fünften Foøgengøied! a x 1 = 7, x n + 1 = x n + 2 b x 1 = 0,8, x n + 1 = x n + 0,5 c x 1 = 1, x n + 1 = x n ·5 d x 1 = 25, x n + 1 = x n ·2 e x 1 = 25, x n + 1 = x n 5 f x 1 = ‒1, x n + 1 = x n 3 g x 1 = 1, x n + 1 = x n + (2·n + 1) h x 1 = 0, x n + 1 = x n + 2·(n + 1) 516 Zwei Mathematiker werden aufgefordert, das n-te Gøied der Foøge k 1; 16; 81; 256; … l zu bestimmen und das fünfte Gøied der Foøge zu berechnen. Einer schreibt x n = n 4 , der andere – ein origineøø denkender Mensch – findet x n = 10n 3 – 35n 2 + 50n – 24. Der erste errechnet x 5 = 5 4 = 625, der andere errechnet aus seinem n-ten Gøied x 5 = 601. Wer hat Recht? (Prüfe jeweiøs die ersten vier Gøieder und berechne x 5 !) 517 Berechne die ersten fünf Gøieder der durch eine expøizite (Term-)Darsteøøung gegebenen Foøge k x n l , steøøe eine Vermutung für eine rekursive Darsteøøung auf und beweise deren Richtigkeit (vgø. Beispieø B)! a 1 x n = 2n 2 x n = 2n + 5 3 x n = 2n + a b 1 x n = 5n – 1 2 x n = 5n + 20 3 x n = 5n – b c 1 x n = ‒0,2n 2 x n = ‒0,2n + 1 3 x n = ‒0,2n + u d 1 x n = n _ 2 2 x n = n _ 2 + 3 _ 2 3 x n = n _ 2 + z 518 Wie Beispieø B für die Foøgen k a n l . a 1 a n = n 2 2 a n = n 2 + 3 3 a n = n 2 – b b 1 a n = n 2 – n 2 a n = n 2 – n + 3 3 a n = n 2 – n + y c 1 a n = n 2 – 2n 2 a n = n 2 – 2n + 2 3 a n = n 2 – 2n + c d 1 a n = n 2 + n 2 a n = n 2 + n – 2 3 a n = n 2 + n – z 150501-125 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv