Reichel Mathematik 6, Schulbuch

13 1.2 Rechnen mit Punkten, Pfeilen und Vektoren 1 Jede Linearkombination von Vektoren stellt also wieder einen Vektor dar. Dh.: Die Menge V der Vekto- ren ist gegenüber dem Bilden von Linearkombinationen abgeschlossen . Begründe! Beispiel F Weøcher Vektor _ À x wird durch die Linearkombination 3· _ À a + 2· _ À b – _ À c dargesteøøt? _ À a = (1 1 2 1 3), _ À b = (‒1 1 4 1 0), _ À c = (0 1 0 1 7). Lösung: _ À x = 3· “ 1 2 3 § + 2· “ ‒1 4 0 § – “ 0 0 7 § = “ 3 6 9 § + “ ‒2 8 0 § – “ 0 0 7 § = “ 1 14 2 § Beachte, dass wir in Beispiel F eine – wenn auch sehr einfache – Vektorgleichung gelöst haben. Einen komplizierteren Typ zeigt Beispiel G Löse die Vektorgøeichung _ À a – _ À b – 3· _ À x + 2·( _ À a + _ À b) – _ À b = _ À o für _ À a = (1 1 1 1 2), _ À b = (2 1 ‒1 1 ‒3)! Lösung: Man spaøtet die Vektorgøeichung in drei øineare Gøeichungen auf: “ 1 1 2 § – “ 2 ‒1 ‒3 § – 3· “ x y z § + 2· “ “ 1 1 2 § – “ 2 ‒1 ‒3 § § – “ 2 ‒1 ‒3 § = “ 0 0 0 § É 1 – 2 – 3 x + 2 (1 + 2) – 2 = 0 1 – (‒1) – 3 y + 2 (1 + (‒1)) – (‒1) = 0 2 – (‒3) – 3 z + 2 (2 + (‒3)) – (‒3) = 0 Daraus erhäøt man x = 1, y = 1, z = 2, aøso: _ À x = (1 1 1 1 2) Ein anderer Weg besteht darin, nicht sofort die konkreten Zahlentripel für _ À a und _ À b einzusetzen, sondern zunächst einmal mit den allgemeinen Vektoren symbolisch zu rechnen. Dieser Weg ist in theoretischer Hinsicht befriedigender. Er verdeutlicht, dass die Verwendung von Vektorsymbolen eine „allgemeine“, dh. von der Dimension der verwendeten Vektoren unabhängige Lösungsfindung gestattet. Die Zulässigkeit dieser Vorgangsweise gründet sich auf die uns bereits bekannten Rechenregeln für die Vektoraddition (und Vektorsubtraktion) sowie für die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalar v bzw. w ): Regel Rechengesetze für Linearkombinationen von Vektoren: _ À a + _ À b = _ À b + _ À a v· _ À a = _ À a·v ( _ À a + _ À b) + _ À c = _ À a + ( _ À b + _ À c) v·(w· _ À a) = (v·w)· _ À a _ À a + _ À o = _ À a 1· _ À a = _ À a _ À a + (‒ _ À a) = _ À o 0· _ À a = _ À o ‒(‒ _ À a) = _ À a ‒1· _ À a = ‒ _ À a v·( _ À a ± _ À b) = v· _ À a ± v· _ À b (v ± w)· _ À a = v· _ À a ± w· _ À a Das Ziel dieser Umformungen besteht dabei darin, die auftretenden Vektorterme schrittweise zu verein- fachen. Wir demonstrieren dies (bewusst „überausführlich“) am Beispiel G (Fortsetzung) Gøeichung Zur Umformung verwendete Rechenregeø _ À a – _ À b – 3· _ À x + 2·( _ À a + _ À b) – _ À b = _ À o ! v·( _ À a + _ À b) = v· _ À a + v· _ À b _ À a – _ À b – 3· _ À x + 2· _ À a + 2· _ À b – _ À b = _ À o ! _ À a + _ À b = _ À b + _ À a _ À a + 2· _ À a – 3· _ À x – _ À b + 2· _ À b – _ À b = _ À o ! v· _ À a + w· _ À a = (v + w)· _ À a 3· _ À a – 3· _ À x + 0· _ À b = _ À o ! 0· _ À a = _ À o 3· _ À a – 3· _ À x + _ À o = _ À o ! _ À a + _ À o = _ À a 3· _ À a – 3· _ À x = _ À o ! v· _ À a – v· _ À b = v·( _ À a – _ À b) 3·( _ À a – _ À x) = _ À o ! v· _ À o = _ À o _ À a – _ À x = _ À o ! _ À a + (‒ _ À a) = _ À o _ À x = _ À a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv