Reichel Mathematik 6, Schulbuch

139 4.3 Konvergenz von Zahlenfolgen 4 Konvergenz aus der Definition mittels Ungleichungen beweisen 571 Berechne, von weøchem Index n 0 an sämtøiche Gøieder der gegebenen Nuøøfoøge køeiner aøs 1 ε = 0,01, 2 ε = 0,002 sind! a k 1 __ 2n l b k 2 _ n l c k 3 __ 2n l d k 7 __ 3n l e k 1 __ n 2 l f k 1 ___ 3n 2 l g k 4 __ n 2 l h k 5 ___ 3n 2 l 572 Bestimme 1 den Grenzwert a der Foøge k a n l und gib 2 zu den angegebenen ε -Werten den køeinsten In- dex an, von dem an † a n – a † < ε giøt! a k 8n + 1 ____ 6n – 3 l , ε = 0,01 b k 10 – 3n _____ 4n + 1 l , ε = 0,005 c k 7n + 5 ____ 4n – 1 l , ε = 0,002 d k 5n – 2 ____ 3n + 1 l , ε = 0,0008 e k 6 – 3n ____ 2 + 4n l , ε = 0,1 f k 6n – 2 ____ 4n + 1 l , ε = 0,01 573 Wie Aufg. 572. a k 2n ___ n + 1 l , ε = 1 __ 50 b k 2n – 1 ____ n l , ε = 1 __ 50 c k 5 – n ____ 3n – 2 l , ε = 1 ___ 100 d k 6n – 2 ____ 4n + 1 l , ε = 7 ___ 100 e k n 2 ____ n 2 + 1 l , ε = 1 ___ 145 f k 8n 2 – 12n ______ 4n 2 – 9 l , ε = 1 ___ 100 g k n 2 ____ n + n 3 l , ε = 1 __ 10 h k n 2 – n ____ n 3 l , ε = 1 __ 10 Grenzwertberechnung bei rekursiven Folgen 574 Gib eine expøizite Darsteøøung des n-ten Gøiedes an und entscheide, ob eine Nuøøfoøge vorøiegt! a x 1 = 1 1 x n + 1 = x n ___ n + 1 2 x n + 1 = x n ·(n + 1) 3 x n + 1 = x n b x 1 = 2 1 x n + 1 = ‒x n 2 x n + 1 = 1 __ x n 3 x n + 1 = x n __ 3 575 Weøche der Foøgen sind Nuøøfoøgen? a 1 x 1 = 2, x n + 1 = x n __ 2 2 x 1 = ‒2, x n + 1 = x n 2 __ 2 3 x 1 = 2, x n + 1 = x n 3 __ 3 b 1 x 1 = 0, x n + 1 = x n + 1 _ n 2 x 1 = 1, x n + 1 = x n __ n 3 x 1 = 0, x n + 1 = x n – 1 _ n 576 Bestimme den Grenzwert øim n ¥ • x n für die foøgenden konvergenten Foøgen! a x 1 = 1, x n + 1 = 2x n + 2 _____ x n + 2 b x 1 = 1,5, x n + 1 = x n 2 + 3 ____ 2x n c x 1 = 2, x n + 1 = 9 ___ 3 x n d x 1 = 2, x n + 1 = 8· 3 9 __ x n e x 1 = 5, x n + 1 = 9 _____ 2· 4 9 __ x n f x 1 = 10, x n + 1 = 0,5· “ x n + 90 __ x n § Intuitives Arbeiten mit Reihen 577 Erkøäre 1 mit Fig. 4.12, 2 mit Hiøfe einer seøbst gefundenen Figur! 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 8 + 1 __ 16 + … = 578 Ermittøe durch geometrische Überøegungen die Summe! a 1 _ 2 ·(0,5 + 0,25 + 0,125 + …) b 0,25· “ 1 + 1 _ 2 + 1 _ 4 + … § c 1,5 + 0,75 + 0,375 + … d 12 + 6 + 3 + … Fig. 4.12 1 2 1 4 150501-139 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv