Reichel Mathematik 6, Schulbuch

14 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Da sich die Vorgangsweise des Vereinfachens von Zahlentermen offenbar auf das Vereinfachen von Vektortermen „übertragen“ lässt, liegt die folgende Frage nahe: Lassen sich auch Äquivaøenzumformungen „übertragen“, dh., øassen sich Vektorgøeichungen in anaøo- ger Weise wie „Zahøengøeichungen“ durch Äquivaøenzumformungen øösen? Wie könnten soøche Äqui- vaøenzumformungsregeøn øauten? Die Antwort auf die erste Frage ist ja. Eine Vektorgleichung geht in eine äquivalente (dh. lösungsgleiche) über, wenn man auf beiden Seiten den gleichen Vektor addiert bzw. subtrahiert, oder wenn man beide Seiten der Gleichung mit der gleichen (von null verschiedenen) Zahl multipliziert; letzteres schließt be- reits die Division durch eine von null verschiedene Zahl ein. Zu beachten ist jedoch, dass es keine „Vektor-Division“ gibt. So ist die folgende Umformung sinnlos (und daher unzulässig )! 3 _ À a = _ À b É 3 = _ À b _ _ À a Gleichungen, die aus Linearkombinationen von Vektoren aufgebaut sind, lassen sich durch Termumfor- mungen und Äquivalenzumformungen der obigen Art lösen . Dies gilt nicht für Gleichungen, in denen die Vektoren durch das skalare Produkt miteinander verknüpft sind. Dort wendet man andere Umfor- mungen („Tricks“) an. 20 Weøcher Vektor wird durch die angegebene Linearkombination der Vektoren _ À a = (2 1 ‒1 1 3), _ À b = (1 1 ‒2 1 3) und _ À c = (‒1 1 0 1 1) dargesteøøt? a 3· _ À a + 2· _ À b b 4· _ À a – 3· _ À b c _ À a + _ À b + _ À c d _ À c – ( _ À a + _ À b) e 2· _ À c – 3· _ À b f 4· _ À c + _ À a g 2· _ À c – _ À b + 3· _ À a h ( _ À c – _ À a) + _ À b 21 Löse die Vektorgøeichung durch Termumformungen! Führe das jeweiøs verwendete Gesetz an! a _ À a + _ À b – 2· _ À x = _ À o b 2· _ À a – (3· _ À b + 5· _ À x) = _ À o c 4· _ À b – (2· _ À x + _ À b – _ À a) = _ À o d (3· _ À x – 4· _ À b) + 2· _ À a – _ À b = _ À o e 2· _ À a – ( _ À x – _ À b) + _ À b = _ À o f (4· _ À x – _ À a) – _ À b – _ À a – 3· _ À x = _ À o g _ À x – (3· _ À a – _ À x) + ( _ À b – _ À a) = _ À o h 2· _ À x + ( _ À a – _ À x) + ( _ À b – _ À x) = _ À o 22 Löse die Vektorgøeichung durch Term- bzw. Äquivaøenzumformungen! a 2· _ À a + _ À b – _ À x = _ À x – _ À a – _ À b b 2· _ À a – (3· _ À b + 5· _ À x) = _ À o c 5· _ À b + (2· _ À x + 2· _ À b) = _ À x + 7· _ À b d ( _ À x + 2· _ À b) – 2· _ À a = ( _ À x + 2· _ À a) – 2· _ À b e 2· _ À a – ( _ À x – _ À a) + _ À b = _ À b – ( _ À x – _ À a) f ( _ À x – _ À a) – _ À b – _ À a = 3· _ À x – ( _ À a – _ À b) g _ À x – ( _ À a + _ À x) – ( _ À b + _ À a) = _ À x – ( _ À b – _ À a) h ( _ À a – _ À x) – ( _ À b – _ À x) = ( _ À x – _ À a) + ( _ À b – _ À x) 23 Finde für die Vektoren _ À a = (4 1 ‒4 1 7), _ À b = (‒7 1 4 1 4), _ À c = (2 1 1 1 ‒2) und _ À d = (‒1 1 2 1 2) einen Richtungsvektor der Winkeøsymmetraøen zwischen a _ À a und _ À b, b _ À c und _ À d, c _ À a und _ À c, d _ À b und _ À c, e _ À a und _ À d, f _ À b und _ À d! Versuche dabei mögøichst geschickt vorzugehen! 24 Finde für die Vektoren _ À a = (2 1 ‒1 1 3), _ À b = (1 1 ‒2 1 3) und _ À c = (‒1 1 0 1 1) eine Linearkombination, weøche den Nuøø- vektor darsteøøt! 25 Durch drei (aøøgemein øiegende) Pfeiøe __ À AB = _ À a, __ À AD = _ À b und __ À AE = _ À c wird ein Paraøøeøepiped ABCDEFGH „auf- gespannt“. Was wird durch die Linearkombinationen 1 _ À a + _ À b + _ À c, 2 _ À a + _ À b – _ À c, 3 _ À a – _ À b + _ À c, 4 ‒ _ À a + _ À b + _ À c dargesteøøt? Antworte anhand einer Skizze! 26 Biøde den Einheitsvektor des Einsvektors (1 1 1 1 1)! Erkøäre daran die beiden unterschiedøichen, øeicht zu verwechseønden Begriffe! S 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv