Reichel Mathematik 6, Schulbuch

140 Folgen und Grenzprozesse 4 Arithmetische Folgen und Reihen 1. Arithmetische Folgen (er-)kennen So genannte arithmetische Folgen treten überall dort auf, wo ein gewisser Anfangswert sich mehrmals schrittweise um einen (pro Zeiteinheit) konstanten Wert additiv vermehrt oder vermindert. Beispiel a 3 7 11 15 … b 3 1 ‒1 ‒3 … d = 4: +4 +4 +4 +4 d = ‒2: ‒2 ‒2 ‒2 ‒2 Denke etwa an den Lagerbestand einer Fabrik. Auch wenn hinter dessen Wachstum (was Zunahme und Abnahme gleichermaßen meint) zwei Einflüsse – Produktion und Verkauf – stehen, so betrachten wir modellhaft nur die resultierende absolute Änderung (= Zuwachs) der Stückzahl von Tag zu Tag. Ist das tägliche Wachstum über mehrere Tage konstant, so bilden die Stückzahlen eine arithmetische Folge und man spricht von einem arithmetischen Wachstum (bzw. auch linearen Wachstum – vgl. unten). Definition Eine Zahøenfoøge k a n l heißt arithmetische (Zahøen-) Foøge , wenn die Differenz je zweier aufeinander foøgender Gøieder konstant ist, dh. für jedes n giøt: a n + 1 – a n = d Die Konstante d heißt die Differenz der arithmetischen Foøge k a n l . Rekursive Darsteøøung: a 1 , a n + 1 = a n + d Expøizite Darsteøøung: a n = a 1 + (n – 1)·d Bemerkung: Bei Wachstumsprozessen ist es oft günstig(er) bei der Zählung mit dem Index 0 zu begin- nen. Beachte aber, dass sich dabei die explizite Darstellung zu a n = a 0 + n·d ändert. Begründe! Beispiel H Ermittøe eine 1 rekursive, 2 expøizite Darsteøøung von a k a n l = k ‒2n + 7 l , b k a n l = k n + 1 l ! Beginne dabei beim Index 0! 3 Berechne die ersten sechs Gøieder von k a n l und steøøe sie am Zahøenstrahø dar! 4 Fasst man n aøs unabhängige Variabøe auf, dann ist a n eine Funktion von n. Erkøäre den Satz: „Wenn k a n l eine arithmetische Foøge ist, dann ist a n eine øineare Funktion von n“. Steøøe k a n l aøs Graph dieser Funktion N ¥ R dar! Lösung: a 1 d = a n + 1 – a n = (‒2·(n + 1) + 7) – (‒2·n + 7) = ‒2 2 a 0 = 7, a n + 1 = a n – 2 3 k 7; 5; 3; 1; ‒1; ‒3; … l a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 0 2 -2 x n x n = –2n+ 7 b 1 d = a n + 1 – a n = ((n + 1) + 1) – (n + 1) = 1 2 a 0 = 1, a n + 1 = a n + 1 3 k 1; 2; 3; 4; 5; 6; … l 0 10 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 x n x n = n+ 1 4 Die Erkøärung foøgt aus der Stufenformeø der „øinearen Funktion“ (Buch 5. Kø. S. 131) und den beiden nebenstehenden Zeichnungen. Aus a n = a 0 + d·n ergibt sich die Geradengøeichung y = a 0 + d·x Man spricht von einem „ øinearen Wachstum “. Lineare Lineare Abnahme Zunahme (d < 0) (d > 0) Beachte, dass das d in der linearen Funktion y = k x + d nicht dem d im Folgenterm a n = a 1 + (n – 1)·d entspricht. Erøäutere! 4.4 1 0 2 3 a 0 a 1 y = a n a 2 a 3 x =n y =‒2x + 7 1 0 2 3 4 y = a n a 3 a 4 a 1 a 2 a 0 x =n y = x + 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv