Reichel Mathematik 6, Schulbuch

141 4.4 Arithmetische Folgen und Reihen 4 2. Arithmetische Folgen (im Geldwesen) anwenden Wird einem Kapital K über mehrere Jahre hinweg am Ende eines jeden Jahres ein fester Geldbetrag Z gutgeschrieben, so entwickelt sich das Kapital gemäß einer arithmetischen Folge: K = K 0 Kapital nach null Jahren, Anfangskapital K 1 = K 0 + Z Kapital nach einem Jahr K 2 = K 1 + Z = K 0 + 2·Z Kapital nach zwei Jahren … … K n = K n – 1 + Z = K 0 + n·Z Kapital nach n Jahren Häufig wird diese gleich bleibende Gutschrift statt in GE (Geldeinheiten wie zB €, $ usw.) in Prozenten p des Kapitals ausgedrückt und als Zinsen bezeichnet, genauer: als Einfach-Zinsen , weil diese vom ein- fachen Kapital (= Anfangskapital) berechnet werden. Der konstante Zinssatz p% heißt auch Zinsfuß . Er bezieht sich stets auf einen bestimmten Zeitraum ( Zinsperiode ), meist ein Jahr, was man mit der Ab- kürzung p. a. (pro anno (lat.) … pro Jahr) ausdrückt. Teile eines Jahres werden aliquot berücksichtigt, wobei ein Bankjahr 360 Tage zählt. Satz Einfachzinsformeø: Ein Kapitaø K 0 øiefert bei einfacher Verzinsung mit p% p. a. nach einem Zeitraum T von zusammen n Jahren, m Monaten und t Tagen das Endkapitaø K T = K 0 · “ 1 + p ___ 100 · “ n + m __ 12 + t ___ 360 § § Beachte, dass in dieser Formel T den Zeitraum in (Bruchteilen von) Jahren angibt und somit kein Fol- genindex (aus N oder N *) ist. Wollte man dies, so müsste man den Zeitraum ausschließlich in Tagen messen, was Konsequenzen für die Formel und die graphische Darstellung hätte . Beispiel I 1 Tabeøøiere die Entwickøung eines Kapitaøs K = 10000,00 GE bei einfacher Verzinsung mit p = 5% p. a. über 6 Jahre hinweg! 2 Wie hoch sind die Zinsen insgesamt? Wie hoch ist das Kapitaø 3 nach 10 Jahren und 3 Monaten, 4 nach 45 Tagen? Lösung: 1 Zeitpunkt: Anfang Jahr… 0 1 2 3 4 5 6 Kapitalstand 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 2 Die Gesamtzinsen sind 13000 – 10000 = 3000. 3 10 Jahre 3 Monate = 10,25 Jahre w K 10,25 = 10000·(1 + 0,05·10,25) = 15125 4 45 Tage = 45 ___ 360 Jahre = 0,125 Jahre w K 0,125 = 10000·(1 + 0,05·0,125) = 10062,50 3. Arithmetische Reihen berechnen Durch Addieren der Glieder einer arithmetischen Folge k a n l entsteht eine so genannte arithmetische Reihe: a 1 + a 2 + a 3 + … , die (mit einer Ausnahme ) für unendliche arithmetische Reihen (wo unendlich viele Summanden auftreten) divergent ist. Für endliche arithmetische Reihen k a n l (wo endlich viele Summanden auftreten) existiert die Summe s n ihrer Glieder. Man berechnet sie wie folgt (Beweis in Aufg. 602): Satz Summenformeø der endøichen arithmetischen Reihe: Die arithmetische Foøge k a 1 ; a 2 ; …; a n l hat die Summe s n = ; i = 1 n a i = (a 1 + a n )· n _ 2 Beachte, dass die Werte s 1 , s 2 , s 3 , … , ihrerseits eine Folge bilden, die Folge der Partialsummen . Diese ist aber keine arithmetische Folge . A 599 A 601 A 601 150501-141 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv