Reichel Mathematik 6, Schulbuch

143 4.4 Arithmetische Folgen und Reihen 4 590 Beweise, dass es sich jeweiøs um eine dreigøiedrige arithmetische Foøge handeøt! a k r; s; 2 s – r l b k r ___ r – 1 ; r + 1 ___ 2r ; 1 ___ r – r 2 l , r > 1 c k r – 1 ___ r + 2 ; r 2 + 2 ____ r 2 – 4 ; r + 1 ___ r – 2 l , r > 2 d k r 2 + s 2 ____ 2 ; “ r + s ___ 2 § 2 ; rs l 591 Beweise: Sind a, b, c aufeinander foøgende Gøieder einer arithmetischen Foøge, so ist auch k a 2 + ab + b 2 ; a 2 + ac + c 2 ; b 2 + bc + c 2 l eine arithmetische Foøge. 592 Ergänze, begründe und gib je ein Beispieø hinsichtøich a Monotonie, b Schranken! Arithmetische Foøgen mit 1 d > 0 sind , 2 d < 0 sind , 3 d = 0 sind . 593 Untersuche und beweise das Konvergenzverhaøten arithmetischer Foøgen für 1 d ≠ 0, 2 d = 0! Anwendungen 594 Eine Luftmenge nimmt bei 20 °C ein Voøumen von 5860 cm 3 ein. Berechne unter Verwendung des Gesetzes von GAY-LUSSAC, um wie vieø Grad Ceøsius die Luftmenge erwärmt werden muss, damit sie (bei konstantem Druck) a 7260 cm 3 , b 9,06 dm 3 , c 0,007 m 3 Voøumen einnimmt! „Unter konstantem Druck dehnt sich die Luft pro 1 °C Erwärmung um 1/273 des Voøumens aus, das sie bei 0 °C einnimmt“ (Gesetz von GAY-LUSSAC) 595 Wie vieøe Pakete von 12 cm Höhe können auf einer 2 dm hohen Unterøage bis zu einer Gesamthöhe von a 1,88 m, b 2,36 m, c 3,20 m gestapeøt werden? 596 Ein Buch mit 500 Seiten ist (inkø. Deckeø von je 2,5 mm Dicke) 50,0 mm dick. Wie dick ist ein Buch mit a 180, b 320, c 460 Seiten (bei gøeicher Papier- und Deckeøstärke) 1 ohne, 2 mit Einband? 597 Eine Bank verspricht in einem Prospekt statt Zinsen einen jährøichen festen Bonus B Euro, wenn man K Euro auf einmaø einzahøt und erst nach n Jahren behebt. 1 Weøchem Zinssatz p pro Jahr entspricht dies? 2 Wie hoch ist das Endkapitaø? a B = 20, K = 800, n = 5 b B = 50, K = 2000, n = 5 c B = 40, K = 2000, n = 4 d B = 60, K = 3000, n = 4 598 Berechne 1 den Endkapitaøstand, 2 die einfachen Zinsen für foøgende Angaben! a K = 400 €, p = 1,25% p.a., T = 3 Monate b K = 400 €, p = 1,50% p.a., T = 5 Monate c K = 800 €, p = 2,25% p.a., T = 1 Jahr 2 Monate d K = 800 €, p = 2,75% p.a., T = 1 Jahr 4 Monate e K = 900 €, p = 1,75% p.a., T = 40 Tage f K = 900 €, p = 2,5% p.a., T = 75 Tage g K = 1200 €, p = 3% p.a., T = 1 Jahr 20 Tage h K = 1200 €, p = 4% p.a., T = 2 Jahre 20 Tage 599 1 Formuøiere die Einfachzinsformeø so um, dass T aøs Index den (zunächst nach wie vor in Jahren, Monaten und Tagen vorgegebenen) Zinszeitraum in Tagen angibt! 2 Erøäutere, dass die das Kapi- taøwachstum beschreibende reeøøe Funktion eine stückweise øineare Funktion ist (vgø. Buch 5. Kø. S. 137)! 3 Skizziere den zweidimensionaøen Graphen der Foøge! Arithmetische Reihen 600 Berechne! a u = 3 + 7 + 11 + 15 + … + 99 + 103 b v = ‒2 + 1 + 4 + 7 + … + 58 c w = ‒ 10 __ 3 – 5 _ 3 + … + 95 __ 3 d z = 4 _ 3 + 2 + 8 _ 3 + … + 8 601 Beweise: a Die Partiaøsummenfoøge einer arithmetischen Foøge k a n l ist keine arithmetische Foøge. b Eine arithmetische Reihe ist (mit einer einzigen Ausnahme – Weøcher?) stets bestimmt divergent. 602 Beweise die foøgenden Summenformeøn! Achte auf die Indizes! a s n = a 1 + a 2 + … + a n = (2a 1 + (n – 1)·d)· n _ 2 b s n = a 0 + a 1 + … + a n = (2a 0 + n·d)· n _ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv