Reichel Mathematik 6, Schulbuch

145 4.5 Geometrische Folgen 4 Geometrische Folgen 1. Geometrische Folgen (er-)kennen So genannte geometrische Folgen treten überall dort auf, wo ein gewisser Anfangswert sich mehrmals schrittweise mit einem (pro Zeiteinheit) konstanten Faktor multiplikativ vermehrt oder vermindert. Beispiel a 3 12 48 192 … b 3 ‒6 12 ‒24 … q = 4: ·4 ·4 ·4 ·4 q = ‒2: ·(‒2) ·(‒2) ·(‒2) ·(‒2) Denke etwa an die Einwohnerzahl eines Landes. Auch wenn hinter deren Wachstum (was Zunahme und Abnahme gleichermaßen meint) zwei Einflüsse – Geburten und Todesfälle – stehen, so betrachten wir modellhaft nur die resultierende relative Änderung (= Zuwachsrate) der Einwohnerzahl von Jahr zu Jahr. Ist diese jährliche Wachstumsrate über mehrere Jahre hinweg konstant, so bilden die Einwohner- zahlen eine geometrische Folge und man spricht von einem geometrischen Wachstum (bzw. auch ex- ponentiellen Wachstum – vgl. unten und Kap. 6). Definition Eine Zahøenfoøge k b n l heißt geometrische (Zahøen-) Foøge , wenn der Quotient je zweier aufeinander foøgender Gøieder konstant ist, dh. für jedes n giøt: b n + 1 ___ b n = q Die Konstante q heißt der Quotient der geometrischen Foøge k b n l . Rekursive Darsteøøung: b 1 , b n + 1 = b n ·q Expøizite Darsteøøung: b n = b 1 ·q n – 1 Bei Wachstumsprozessen ist es oft günstig(er) mit dem Index 0 statt 1 zu beginnen. Beachte, dass sich dabei aber die obige explizite Darstellung der Folge zu b n = b 0 ·q n ändert. Begründe! Aus Beispiel G wissen wir bereits über die Konvergenz geometrischer Folgen Bescheid: Satz Konvergenzsatz für geometrische Foøgen: Die geometrische Foøge k b n l ist für † q † < 1 konvergent mit øim n ¥ • b n = 0, für † q † > 1 divergent mit øim n ¥ • b n = ± • . Für q = 1 ist die Foøge konstant und damit konvergent mit øim n ¥ • b n = b 1 . Für q = ‒1 ist die Foøge aøternierend und daher divergent. Beispiel J In einem Labor wird durch „Beimpfen“ eine Bakterienkuøtur angeøegt. Dank günstiger Lebensbedin- gungen verdoppeøt sich die Anzahø der Bakterien (eine Zeit øang) aøøe 20 min. Bei der 1. Beobachtung werden 6 Bakterien gezähøt. a Wie vieøe sind es nach zwei Stunden? b Danach sinkt der „Vermeh- rungsfaktor“ während der 20-minütigen Messperioden auf 1,5. Etwa wie vieøe Bakterien umfasst die Kuøtur nach weiteren zwei Stunden, c nach insgesamt acht Stunden? Lösung: a Zeit ( min ) 0 20 40 60 80 100 120 Teilungen n 0 1 2 3 4 5 6 Bakterienanzahl b n ? 6 12 24 48 96 192 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 Es øiegt eine geometrische Foøge mit b 1 = 6 und q = 2 vor (Figur). Daher giøt: b 6 = b 1 ·2 5 = 6·32 = 192. b Wieder biøden die Bakterienanzahøen b n zu den einzeønen (Zeit-)- Messpunkten eine geometrische Foøge k c n l mit c 1 = 192 und q = 1,5. Nach weiteren zwei Stunden beträgt die Bakterienanzahø daher: c 7 = c 1 ·q 6 = 192·1,5 6 ≈ 192·11,4 ≈ 2200 c c 19 = c 1 ·1,5 18 ≈ 192·1478 ≈ 3·10 5 4.5 S 137 1 0 10 2 3 4 y =b n b 3 b 4 b 1 b 2 x =n 20 30 40 50 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv