Reichel Mathematik 6, Schulbuch

146 Folgen und Grenzprozesse 4 2. Geometrische Folgen (im Geldwesen) anwenden Beispiel J zeigte eine Anwendung, wie sie in der Biologie, in der Medizin usw. typisch ist. Allerdings sind dem Bakterienwachstum durch Lebensraum und Nahrung Grenzen gesetzt, sodass das geometri- sche Wachstum nur ein (mehr oder weniger gut auf die Wirklichkeit passendes) Modell sein kann. Im Geldwesen hingegen ist das Modell selbst die (durch Gesetze und Verträge für einen beschränkten Zeit- raum normativ geregelte) Wirklichkeit. Erøäutere! Wird einem Kapital K über mehrere Jahre hinweg am Ende jeden Jahres ein fester Prozentsatz p des letztjährigen Kapitals gutgeschrieben, so entwickelt sich das Kapital gemäß einer geometrischen Folge: K = K 0 Anfangskapital = Kapital nach null Jahren K 1 = K 0 + K 0 · p ___ 100 = K 0 · “ 1 + p ___ 100 § Kapital nach einem Jahr K 2 = K 1 + K 1 · p ___ 100 = K 1 · “ 1 + p ___ 100 § = K 0 · “ 1 + p ___ 100 § 2 Kapital nach zwei Jahren … K n = K n – 1 + K n – 1 · p ___ 100 = K n – 1 · “ 1 + p ___ 100 § = K 0 · “ 1 + p ___ 100 § n Kapital nach n Jahren Weil sich hier neben dem Kapital auch die Zinsgutschriften der vorangegangenen Jahre verzinsen, spricht man von Zinseszins (im Gegensatz zu den Einfachzinsen) oder auch kontokurrenter Verzin- sung 1 . Berücksichtigt man zur rechnerischen Vereinfachung (was im Bankwesen so im Allgemeinen nicht passiert, aber nur ganz geringfügig andere Ergebnisse liefert) Teile eines Jahres aliquot, so erhält man die so genannte theoretische Verzinsung mit dem Satz Zinseszinsformeø (für theoretische Verzinsung): Ein Kapitaø K 0 øiefert bei theoretischer Verzinsung mit p% p. a. nach einem Zeitraum T von zusammen n Jahren, m Monaten und t Tagen das Endkapitaø K T = K 0 · “ 1 + p ___ 100 § “ n + m __ 12 + t ___ 360 § Bemerkungen: 1) Der schon oben geprägte Name exponentielles Wachstum erklärt sich nun insofern, dass die Zeit T im Exponenten steht. 2) Der Faktor, der mit K 0 multipliziert K 1 ergibt, heißt Aufzinsungs- bzw. Abzinsungsfaktor q . Die obige Formel kann man daher auch in der Form schreiben: K T = K 0 ·q T T in (Bruchteilen von) Jahren 3) Beachte, dass in beiden Formelschreibweisen T den Zeitraum in (Bruchteilen von) Jahren angibt und somit kein Folgenindex (aus N oder N * ) ist. Wollte man dies, so müsste man den Zeitraum ausschließ- lich in Tagen messen, was Konsequenzen für die Berechnung von q und damit für die Formeln hätte . Beispiel K 1 Tabeøøiere die Entwickøung eines Kapitaøs K = 10000,00 GE bei kontokurrenter Verzinsung mit p = 5% p. a. über 6 Jahre hinweg! 2 Wie hoch sind die Zinsen insgesamt? Wie hoch ist das Kapitaø 3 nach 10 Jahren und 3 Monaten, 4 nach 45 Tagen? Vergøeiche mit Beispieø I ! Lösung: 1 Zeitpunkt: Anfang Jahr… 0 1 2 3 4 5 6 Kapitalstand 10000 10500 11025 11576,25 12155,06 12762,82 13400,96 2 Die Gesamtzinsen sind 13400,96 – 10000 = 3400,96. 3 10 Jahre 3 Monate = 10,25 Jahre w K 10,25 = 10000·(1 + 0,05) 10,25 = 16488,85 4 45 Tage = 45 ___ 360 Jahre = 0,125 Jahre w K 0,125 = 10000·(1 + 0,05) 0,125 = 10061,17 1 kontokurrent (aus dem Lateinischen) … mit dem Kontostand mitlaufend S 145 A 641 S 141 150501-146 Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv