Reichel Mathematik 6, Schulbuch

147 4.5 Geometrische Folgen 4 3. Geometrische Reihen (er-)kennen Durch Addition der Glieder einer geometrischen Folge entsteht eine so genannte geometrische Reihe b 1 + b 2 + b 3 + … Für endliche geometrische Reihen k b n l existiert wie bei arithmetischen Reihen die Summe s n ihrer Glieder. Interessanterweise existiert aber (anders als bei arithmetischen Reihen) unter bestimmten Voraussetzungen auch für unendliche geometrische Reihen (dh. Reihen mit unendlich vielen Summanden) eine Summe. Dieser Sachverhalt ist so grundlegend für die Mathematik, dass wir ihn in einem eigenen Kapitel ausführlich behandeln wollen. Geometrische Folgen 621 Berechne die ersten fünf Gøieder der geometrischen Foøge k b 1 ·q n – 1 l ! a b 1 = 3, q = 2 b b 1 = 1,2, q = 0,5 c b 1 = 9 __ 2, q = ‒1 d b 1 = 9 __ 3, q = 0,75 e b 1 = ‒0,3, q = 1,5 f b 1 = ‒0,7, q = ‒0,25 g b 1 = ‒ 9 __ 5, q = ‒1,2 h b 1 = ‒4· 9 __ 2, q = 9 __ 8 622 Berechne die fehøenden Gøieder der endøichen geometrischen Foøge k b 1 ; …; b 8 l ! a b 3 = 2; b 5 = 8 b b 2 = 2; b 5 = ‒16 c b 3 = 1/2; b 5 = 1/32 d b 2 = 1; b 4 = 1/16 623 Gibt es eine Foøge, die sowohø eine arithmetische aøs auch eine geometrische Foøge ist? 624 Die Zahø g = 9 ___ a·b wird geometrisches Mitteø der Zahøen a und b ge- nannt, weiø k a; 9 ___ a·b; b l eine geometrische Foøge biøden. a Rechne dies nach, indem du den Quotienten q der Foøge ermitteøst! Was muss man dabei für a und b voraussetzen? b Erkøäre die Konstruktion von g anhand der Figur (Höhensatz)! c Begründe anhand von Fig. 4.14, dass m das arithmetische Mitteø von a und b ist und weise damit nach, dass stets g ª m giøt! 625 Ersetze in Aufg. 624 die Zahø a durch x n und b durch y n ; dann ist g = 9 ___ x n y n und m = 1 _ 2 ·(x n + y n ). Vergøeiche mit den Ausführungen zum HERON’schen Näherungsverfahren zur Berechnung von Quadratwurzeøn und erøäutere den Beweis in Aufg. 501 nochmaøs in einem (Kurz-)Referat! 626 Beweise (vgø. Aufg. 624 a ) a den Satz: Ab dem zweiten Gøied ist jedes Gøied b n einer geometrischen Foøge das geometrische Mitteø seiner Nachbargøieder b n – 1 und b n + 1 , b das Anaøog zu a für b n – 2 und b n + 2 , c eine vermutete Veraøøgemeinerung von a und b . 627 Beweise: Zwischen zwei Gøiedern b r und b s (r < s) einer geometrischen Foøge besteht die Beziehung b s = b r ·q s – r . 628 Die Längen der Seiten eines rechtwinkeøigen Dreiecks biøden eine geometrische Foøge. Berechne die Län- gen der Seiten, wenn a die kürzere Kathete 70 mm, b die øängere Kathete 95 mm, c die Hypotenuse 112 mm øang ist! 629 Die Längen der Seiten eines Rechtecks und der Diagonaøe biøden eine geometrische Foøge. Berechne die Länge der Seiten bzw. Diagonaøe, wenn a die øängere Seite 85 mm, b die kürzere Seite 63 mm, c die Diagonaøe 156 mm øang ist! 630 Untersuche auf Monotonie und Schranken! a k b 0 ·q n l mit b 0 > 0 1 für q > 1 2 für 0 < q < 1 3 für ‒1 < q < 0 b k b 0 ·q n l mit b 0 < 0 1 für 0 < q < 1 2 für ‒1 < q < 0 3 für 1 < q c k b 0 ·q n l mit b 0 ≠ 0 1 für q = 1 2 für q = ‒1 K 4.6 Fig. 4.14 m a g b F 4.14 S 119 150501-147 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv