Reichel Mathematik 6, Schulbuch

149 4.6 Geometrische Reihen 4 Geometrische Reihen 1. Endliche geometrische Reihen berechnen Beispiel (für neun Glieder): 1 + 3 + 9 + 27 + … + 3 8 = s 9 ! ·3 – 3 + 9 + 27 + … + 3 8 + 3 9 = 3·s 9 1 ‒3 9 = s 9 ·(1 – 3) ! (1 – 3) s 9 = 1 – 3 9 _____ 1 – 3 = 9841 Allgemeiner Gedankengang ( n Glieder): 1 + q + q 2 + q 3 + … + q n – 1 = s n ! ·q – q + q 2 + q 3 + … + q n – 1 + q n = q·s n 1 ‒q n = s n ·(1 – q) ! (1 – q) s n = 1 – q n _____ 1 – q Beispiel L Berechne die Summe der ersten zehn Gøieder der geometrischen Reihe: a 4 + 6 + 9 + 13,5 + … b b + b · q + b · q 2 + b · q 3 + … ·1,5 ·1,5 ·1,5 ·q ·q ·q ·q Lösung: a s 10 = 4·(1 + 1,5 + 1,5 2 + … + 1,5 9 ) b s 10 = b·(1 + q + q 2 + q 3 + … + q 9 ) s 10 = 4· 1 – 1,5 10 _____ 1 – 1,5 ≈ 453,32 s 10 = b· 1 – q 10 ____ 1 – q Satz Summenformeø der endøichen geometrischen Reihe: Gegeben sei eine geometrische Reihe b + b · q + b · q 2 + … mit q ≠ 1. Die Summe s n der ersten n Gøieder, aøso s n = b + b·q + … + b·q n – 1 , berechnet sich gemäß s n = ; i = 0 n – 1 b·q i = b· 1 – q n ____ 1 – q “ gøeichwertig ist s n = b· q n – 1 ____ q – 1 § ACHTUNG-VORSICHT: b steht hier wie üblich für das Anfangsglied b 0 = b·q 0 – nicht wie bisher für den Grenzwert von k b n l . Das n-te Folgenglied von k b n l hat daher die Darstellung b n = b·q n – 1 , also n – 1 im Exponenten, weil jeweils bei 0 zu zählen begonnen wird. In der Summenformel steht hingegen im Zäh- ler q n , also n im Exponenten, weil n Folgenglieder summiert werden. Beispiel M Ein Arbeitnehmer erhäøt ein Jahresgehaøt G = 10000 € und eine regeømäßige jährøiche Erhöhung zu Jahresbeginn um je 5%. Tabeøøiere seine Jahresgehäøter über 6 Jahre hinweg! Wie vieø hat er in die- sen Jahren insgesamt verdient? Vergøeiche mit den Ergebnissen in der Fortsetzung von Beispieø I ! Lösung: Zeit (Jahr) 1 2 3 4 5 6 Jahresgehalt 10000 10500 11025 11576,25 12155,06 12762,82 Gesamteinkommen øaut Tabeøøe: G = G 1 + G 2 + … + G 6 = 68019,13 Gesamteinkommen øaut Summenformeø: G = G 1 · 1,05 6 – 1 _____ 1,05 – 1 = 10000·6,8019128 = 68019,13 Eine wichtige Anwendung endlicher geometrischer Reihen liegt im Banken- und Versicherungswesen. Wie in Beispiel M fragt man nach der Summe vieler in regelmäßigen zeitlichen Abständen geleisteten Einzahlungen (zB Prämien in eine Lebensversicherung 1 , Ratenzahlungen ) bzw. Auszahlungen (zB die später aus dieser Lebensversicherung bezogene Rente ). Erfolgt die (bei Prämien und Renten übliche) Inflationsanpassung zB (weniger üblich) gemäß einem fest vereinbarten Prozentsatz, so bilden die Ein- bzw. Auszahlungen eine endliche geometrische Folge, deren Summe mit der obigen Summenformel leicht ermittelt werden kann. 1 Bei Lebensversicherungen unterscheidet man zwischen Ablebensversicherungen und Erlebensversicherungen. Im ersten Fall wird die Vertragssumme nur bei Ableben des Versicherten fällig (womit nur die Erben etwas davon haben), im zweiten Fall nur bei Erleben (womit eigentlich eher eine Sparform als eine Versicherung vorliegt). In der Praxis sind die beiden Versicherungstypen meist kombiniert. 4.6 S 142 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv