Reichel Mathematik 6, Schulbuch

150 Folgen und Grenzprozesse 4 Beispiel N Herr Zusatzpension zahøt ab seinem 50. Lebensjahr durch 15 Jahre am Beginn eines jeden Jahres (man sagt: vorschüssig ) für eine Zusatzpension 1000 € ein. Am Ende der Laufzeit hat er die Option, ent- weder das „angesparte“ Geød aøs Einmaøzahøung zu entnehmen oder diese Einmaøzahøung in eine Rente (Zusatzpension) umzuwandeøn, die 10 Jahre øang am Ende eines jeden Jahres (man sagt: nach- schüssig ) ausgezahøt wird. 1 Wie hoch ist die Einmaøzahøung, wenn seine Prämien mit 4% p. a. verzinst werden? 2 Wie hoch ist die erste Rentenzahøung, wenn die foøgenden Rentenzahøungen ge- genüber dem Vorjahr jeweiøs um 2% erhöht werden? Lösung: Wir veranschauøichen soøche Sachverhaøte genereøø mit einer Zeitskaøa : 20 25 15 0 5 10 1 Die erste Prämie verzinst sich durch 15 Jahre, die zweite durch 14 Jahre, …, die øetzte durch 1 Jahr. Die Einmaøzahøung E ergibt sich aøs Summe aøøer „aufgewerteten“ Prämien P wie foøgt: P·1,04 15 + P·1,04 14 + … + P·1,04 = E Diese geometrische Reihe führen wir durch Umdrehen der Reihenfoøge und Herausheben von 1,04 auf die foøgende „einfachere“ geometrische Reihe zurück: E = P·1,04·(1 + 1,04 + … + 1,04 14 ) = 1000·1,04· 1,04 15 – 1 _____ 1,04 – 1 = 20824,53 2 Wir bezeichnen die erste Rentenzahøung mit R, die zweite hat dann den Wert R·1,02, die dritte R·1,02 2 , …, die zehnte R·1,02 9 und es giøt: 20824,53 = R + R·1,02 + … + R·1,02 9 = R·(1 + 1,02 + … + 1,09 9 ) = R· 1,02 10 – 1 _____ 1,02 – 1 w R = 20824,53·(1,02 – 1) ___________ 1,02 10 – 1 = 1901,83 Bemerkung: Die obige Berechnung hat einen (für Herrn Zusatzpension unschönen) Fehler. Die Versiche- rung teilt zwar das Einmalkapital wie angegeben auf, verzinst aber den jeweils noch unverbrauchten Teil – was wohl „fair“ wäre – nicht. Beispiel N (Fortsetzung) Wie hoch ist die Rente, wenn der noch jeweiøs unverbrauchte Teiø des „angesparten“ Kapitaøs weiter- hin mit 4% verzinst wird? Lösung: Wir brauchen einen gemeinsamen Vergøeichszeitpunkt, zB den Auszahøungszeitpunkt von E. Der für die erste Rente benötigte Geødbetrag G 1 ist dann jedenfaøøs køeiner aøs R, denn er wächst ja noch bis zur Fäøøigkeit ein Jahr øang mit 4%: G 1 ·1,04 = R, aøso G 1 = R/1,04. Anaøog ist G 2 = (R·1,02)/1,04 2 , G 3 = (R·1,02 2 )/1,04 3 usw. Insgesamt giøt: 20824,53 = G 1 + G 2 + … + G 10 = R ___ 1,04 · “ 1 + 1,02 ___ 1,04 + “ 1,02 ___ 1,04 § 2 + … + “ 1,02 ___ 1,04 § 9 § w R = 20824,53·1,04· “ 1,02 ___ 1,04 – 1 § ______________ “ 1,02 ___ 1,04 § 10 – 1 = 2359,84 2. Unendliche geometrische Reihen berechnen Sehen wir uns die obige Summenformel s n = 1 – q n ____ 1 – q nochmals an. Denken wir uns nun, dass n schrittweise immer größer wird und schließlich über alle Grenzen wächst, mit anderen Worten, dass „ n gegen • geht“ ( n ¥ • ). Dann entsteht eine Partialsummenfolge k s n l , deren allgemeines (n-tes) Glied durch die Summenformel gegeben ist. Für die Konvergenz der Folge sind of- fenbar die Summanden q n verantwortlich. Das wollen wir mittels Fallunterscheidungen untersuchen: S 149 150501-150 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv