Reichel Mathematik 6, Schulbuch

151 4.6 Geometrische Reihen 4 Beschränken wir uns zunächst auf positive q (dh. q > 0 ), dann gibt es zwei relevante Fälle: q < 1 q 2 < q q 3 < q 2 0 < … < q 4 < q 3 < q 2 < q < 1 Wir multiplizieren mit q (q > 0) nochmals mit q … fortgesetzt mit q : 1 < q q < q 2 q 2 < q 3 1 < q < q 2 < q 3 < q 4 < … Die Folge k q n l ist monoton fallend und nähert sich der Zahl 0 beliebig genau an. Es gilt also: øim n ¥ • q n = 0 Daraus folgt: øim n ¥ • s n = b· 1 – 0 ___ 1 – q = b ___ 1 – q = s Dh.: Die unendliche geometrische Reihe hat für 0 < q < 1 eine endliche Summe . Man sagt: Die Reihe ist konvergent. Die Folge k q n l ist monoton wachsend und wächst schließlich über alle Grenzen. Es gilt also: øim n ¥ • q n = • Daraus folgt: øim n ¥ • s n = b· 1 – • ____ 1 – q = • Dh.: Die unendliche geometrische Reihe hat für q > 1 keine (endliche) Summe . Man sagt: Die Reihe ist divergent. Bemerkung: Bei obiger Überlegung haben wir nur den Fall q > 0 betrachtet. In analoger Weise kann man gemäß Fig. 4.16 den Fall q < 0 und insbesondere die Fälle q = 1 und q = ‒1 untersuchen. q < ‒1 (zB q = ‒2, b = 1) ‒1 < q < 0 (zB q = ‒0,5, b = 1) Als Quintessenz aller Überlegungen erhält man dann den Satz Konvergenzsatz für unendøiche geometrische Reihen und Summenformeø: Die unendøiche geometrische Reihe b + bq + bq 2 + bq 3 + … + bq n + … – ist für † q † < 1 konvergent , mit ; i = 0 • b·q i = b ___ 1 – q . – ist für † q † º 1 divergent , dh. sie besitzt keine (endøiche) Summe. Beispiel O Sind die foøgenden geometrischen Reihen konvergent? Wenn ja, berechne ihre Summe! a 2 + 2,8 + 3,92 + … b 1 + 0,6 + 0,36 + … c 2 + 4 _ 3 + 8 _ 9 + … Lösung: a q = b 2 : b 1 = 2,8 : 2 = 1,4 > 1, daher ist die Reihe divergent. b q = b 2 : b 1 = 0,6. Wegen 0 < 0,6 < 1 ist die Reihe konvergent mit der Summe s = 1 ____ 1 – 0,6 = 2,5. c q = b 2 : b 1 = 2 _ 3 . Wegen 0 < 2 _ 3 < 1 ist die Reihe konvergent mit der Summe s = 2 ____ 1 – 2 _ 3 = 6. Beispiel P Eine spiraøförmige Kurve (Figur) entsteht durch fortgesetztes Aneinanderfügen von Haøbkreisen, wobei r n + 1 = 2/3 · r n . Ist es mögøich, dass diese in einem „ unendøichen Prozess “ gebiødete Kurve insge- samt eine endøiche Länge ø besitzt? Wenn ja, berechne diese Länge! Lösung: ø = π · (r 1 + r 2 + r 3 + … ) = π · r 1 · “ 1 + 2 _ 3 + 4 _ 9 + … § Es øiegt offenbar eine geometrische Reihe vor mit q = 2/3; wegen 0 < q < 1 ist die Reihe konvergent und es giøt: ø = π · r 1 · 1 ____ 1 – 2 _ 3 = 3 π r 1 Fig. 4.16 0 0 4 –2 –8 1 1 x n x n 1 4 1 2– r 1 r 2 r 3 150501-151 Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv