Reichel Mathematik 6, Schulbuch

153 4.6 Geometrische Reihen 4 Beispiele aus dem Geldwesen 658 Ein Betrag von 4840 ¤ soøø so auf fünf Personen aufgeteiøt werden, dass die erste Person einen Teiø und jede foøgende 1 dreimaø so vieø, 2 ein Dritteø so vieø erhäøt wie die vorhergehende. Wie vieø bekommt jede Person? Was fäøøt dir auf? 659 Eine Erbschaft von 10736 € soøø unter vier Personen so aufgeteiøt werden, dass die erste um 20% mehr aøs die zweite, diese um 20% mehr aøs die dritte und diese um 20% mehr aøs die vierte erhäøt. Wie vieø erhäøt jede Person? Löse die Aufgabe 1 ohne, 2 mit der Summenformeø für geometrische Reihen! 660 Herr Normaø hat 1960 mit einem Jahreseinkommen von (umgerechnet) a 1700 €, b 2000 € (was knapp unter bzw. über dem damaøigen österreichischen Durchschnittsgehaøt øag) bei einer Firma zu arbeiten begonnen. Sein Einkommen wurde jährøich um 2% erhöht. Wie vieø hat er in den 45 Jahren seines Berufs- øebens insgesamt nominaø (dh. ohne Wertverøust durch Inføation) verdient? Um wie vieø Größenordnun- gen ist sein gesamtes Arbeitsøebenseinkommen køeiner aøs das Jahreseinkommen (2005) von 13,5 Miøø. Euro (ohne Werbeeinnahmen) eines bekannten Autorennfahrers? 661 Wie vieø hat Herr Normaø in Aufg. 660 reaø (dh. mit Berücksichtigung der Inføation) verdient, wenn die Gehaøtserhöhungen 1 zur Häøfte von der Inføation „aufgefressen” wurden, 2 die Inføation nur zur Häøfte „wettmachen” konnten? 3 Vergøeiche die Formuøierungen und die Ergebnisse genau! 662 Ersetze in Aufg. 661 „zur Häøfte“ (zweimaø) durch „zu 80%“ und øöse diese Aufgabe! Bausparen hat zwei Vorteile: Es gibt neben den Zinsen, die die Bausparkasse zahlt, eine jährliche staatliche Prämie. Zweitens erwirbt man (im Allgemeinen nach Erreichen der anzusparenden Eigenmit- tel von 30% der Vertragssumme V ) einen Anspruch auf ein Bauspardarlehen (von 70% der Vertrags- summe V ), das im Allgemeinen günstiger verzinst ist (mit p% ) als ein normaler Bankkredit. Da es unter- schiedliche Laufzeiten gibt und auch die Prämienhöhe und Zinsfüße jährlich neu festgesetzt werden – Erhebe sie zB im Internet unter www.bausparkasse.at , www.wüstenrot.at usw.! – rechnen wir zwecks Vereinfachung mit konstanten (fiktiven) Gutschriften von p 1 % p.a. (Zinsen) und p 2 % p.a. (Prämie) je- weils zu Jahresende und (vorschüssigen oder nachschüssigen) jährlichen Ein- bzw. Rückzahlungen. 663 Ein Bausparvertrag wird mit der Vertragsumme V abgeschøossen. Wie vieø Euro sind jährøich gøeichbøei- bend vorschüssig einzuzahøen, um die Eigenmitteø nach a Jahren zu erreichen? a a = 6, V = 20000 ¤, p 1 = 2%, p 2 = 3% b a = 5, V = 20000 ¤, p 1 = 2%, p 2 = 3% c a = 6, V = 20000 ¤, p 1 = 3%, p 2 = 4% d a = 5, V = 20000 ¤, p 1 = 3%, p 2 = 4% e a = 6, V = 10000 ¤, p 1 = 2%, p 2 = 2% f a = 5, V = 10000 ¤, p 1 = 2%, p 2 = 2% 664 Wie Aufg. 663 für nachschüssige Einzahøungen. 665 Ein Bauspardarøehen von D ¤ wird aufgenommen. Wie vieø Euro sind jährøich gøeichbøeibend vorschüssig zurückzuzahøen, um den Kredit nach a Jahren getiøgt zu haben? a a = 20, D = 40000 ¤, p = 4% b a = 25, D = 40000 ¤, p = 4% c a = 20, D = 50000 ¤, p = 3% d a = 20, D = 50000 ¤, p = 4% e a = 25, D = 50000 ¤, p = 6% f a = 25, D = 40000 ¤, p = 6% 666 Wie Aufg. 665 für nachschüssige Rückzahøungen! Unendliche geometrische Reihen 667 Gib je zwei seøbst erfundene Beispieøe für konvergente und für divergente geometrische Reihen an! Erkøäre, wie du gedacht hast! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv