Reichel Mathematik 6, Schulbuch

154 Folgen und Grenzprozesse 4 668 Bereite ein Referat von fünf Minuten Länge vor über die Herøeitung der Summenformeø für a endøiche geometrische Reihen, b unendøiche geometrische Reihen der Art 1 + q + q 2 + q 3 + …, c unendøiche geometrische Reihen der Art b + bq + bq 2 + bq 3 + …! 669 Berechne die Summen der foøgenden unendøichen geometrischen Reihen! a 1 + 2 _ 3 + 4 _ 9 + … b 1 – 1 __ 2 2 + 1 __ 4 2 – ... c 9 __ 5 – 2 + 4 __ 9 __ 5 – … d 2 + 9 __ 2 + 1 + … e 1 + 0,4 + 0,16 + … f 0,64 – 0,08 + 0,01 – … g 2 2 ·3 ‒4 + 2 4 ·3 ‒6 + … h 3 2 ·2 ‒4 + 3 4 ·2 ‒6 + … 670 Ergänze jeweiøs die fehøende Größe der geometrischen Reihe! a b c d e f b 1 4 80 2 ‒5/8 q 1/5 1/4 3/7 1/3 s 0,6 ‒25/4 ‒49/4 3,5 Beispiel Q a Unter weøchen Bedingungen ist der Ausdruck 1 + 2 _ x + 4 __ x 2 + 8 __ x 3 + … (aøs „Summe“) sinnvoøø? Gib eine Formeø für die Summe an! b Beweise: a + a 2 + a 3 + … _________ 1 + a = a ____ 1 – a 2 ( † a † < 1) Lösung: a Es øiegt offenbar eine geometrische Reihe ; i = 1 • bq i vor mit b = 1 und q = 2 _ x . Die Reihe konvergiert für † 2 _ x † < 1 É † x † > 2. Ihre Summe ist dann 1 ___ 1 – 2 _ x = x ___ x – 2 . Somit ist 1 + 2 _ x + 4 __ x 2 + … = x ___ x – 2 für † x † > 2. b Der Zähøer steøøt offenbar eine geometrische Reihe dar mit dem ersten Gøied a und dem Quotienten q = a. Die Summe ist daher a ___ 1 – a , womit insgesamt giøt: a ____ 1 – a ___ 1 + a = a ____ 1 – a 2 671 Unter weøchen Bedingungen hat die Reihe eine Summe? Gib eine Formeø für ihre Summe an! a 1 + x + x 2 + x 3 + … b 1 + y 2 + y 4 + y 6 + … c 2 + 2u + 2u 2 + 2u 3 + … d 1 + 1 _ a + “ 1 _ a § 2 + … e A + A 2 __ 2 + A 3 __ 4 + A 4 __ 8 + … f 1 + B 2 __ 3 + B 4 __ 9 + B 6 __ 27 + … 672 Wie Aufg. 671! a a + a _ b + a __ b 2 + a __ b 3 + … b 1 + u _ v + u 2 __ v 2 + u 3 __ v 3 + … c a – a 2 __ 2 + a 3 __ 4 – a 4 __ 8 + … d ‒1 + w 2 – w 4 + w 6 – … e ‒x – 2x 2 – 4x 3 – 8x 4 – … f 1 – x + x 2 – x 3 + … 673 Berechne: (1 + a)·(1 + b + b 2 + b 3 + …) für 1 b = 0,5, 2 b = 0, _ 3, 3 b = 0,25 674 Berechne: (1 – x 2 )·(1 + x + x 2 + …) für † x † < 1 675 Berechne: (y 2 – 1)·(1 + y 2 + y 4 + y 6 + …) für † y † < 1 676 Berechne: (1 – a + a 2 – a 3 + …)·(1 + a + a 2 + …) für † a † < 1 677 Beweise: 1 + y 2 + y 4 + y 6 + … ___________ 1 – y + y 2 – y 3 + … = 1 ___ 1 – y faøøs † y † < 1 678 Beweise: (z 2 – 1)·(1 + z 2 + z 4 + …) = ‒1 faøøs † z † < 1 679 Steøøe den foøgenden Term aøs unendøiche Summe dar und entscheide, unter weøchen Bedingungen das sinnvoøø ist! a 2 ___ 1 – y b 5 ____ 1 – a 2 c x ___ 1 – x d y 2 ___ 1 + y e z 2 ____ 1 + z 2 f 2x ____ 1 – 2x g 2a 2 ____ 2a – 1 h 1 ___ x – 1 i 2 ____ a 2 – 1 j 3u ____ u 3 – 1 k 1 ____ 1 + x 4 ø 1 ____ 1 – 9 x 150501-154 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv