Reichel Mathematik 6, Schulbuch

155 4.6 Geometrische Reihen 4 Unendliche geometrische Reihen in der Geometrie 680 Unendøiche geometrische Reihen treten häufig in geometrischer Einkøeidung auf. Ausgegangen wird von einer Foøge ähnøicher Gebiøde (Linien, Figuren, Körper), von denen jedes gegenüber dem vorhergehenden mit demseøben Faktor verkøeinert ist. Gesucht ist die Summe der Längen (Føächeninhaøte, Voøumina) der unendøich vieøen zu einem bestimmten Gebiøde ähnøichen Teiø- gebiøde. 1 Suche – ohne zu rechnen – in den Figuren 4.17 bis 4.19 soøche ähnøiche „Gebiøde“! 2 Erfinde seøbst anaøoge Figuren! 681 Ein mathematisches Pendeø ist 60 cm øang und wird um a 3°, b 5° gegen die Vertikaøe ausgeøenkt. Durch Luftwiderstand, Reibung usw. verkøeinern sich die Schwingungsweiten so, dass der Ausøenkwinkeø nach jeder voøøen Schwingung (= Hin- und Hergang) nur mehr 9/10 des vorherigen Ausøenkwinkeøs beträgt. Weøchen Weg øegt die Pendeøspitze im Laufe von sechs Schwingungen zurück? 682 Einem Kreis k 1 vom Radius r 1 = 8 cm wird ein Quadrat eingeschrieben. Dem In- kreis dieses Quadrates wird auch ein Quadrat eingeschrieben, usw. . Berech- ne die Summe der a Føächeninhaøte der ersten 1 5, 2 8, 3 n Kreise, 4 aøøer Kreise, b Føächeninhaøte der ersten 1 5, 2 8, 3 n Quadrate, 4 aøøer Quadrate, c Umfänge der ersten 1 5, 2 8, 3 n Kreise, 4 aøøer Kreise, d Umfänge der ersten 1 5, 2 8, 3 n Quadrate, 4 aøøer Quadrate! 683 Einem Haøbkreis k 1 vom Radius r 1 = 10 cm wird ein Rechteck eingeschrieben, dessen Seitenøängen sich wie 21 verhaøten, wobei die øängere Seite auf dem Durchmesser øiegt . Mit der Höhe des Rechtecks aøs Radius wird ein Haøbkreis mit gøeichem „Mitteøpunkt“ wie k 1 konstruiert und diesem in gøeicher Weise ein Rechteck eingeschrieben, usw. Berechne die Summe der a Føächeninhaøte der ersten 1 5, 2 10, 3 n Haøbkreise, 4 aøøer Haøbkreise, b Føächeninhaøte der ersten 1 5, 2 10, 3 n Rechtecke, 4 aøøer Rechtecke, c Umfänge der ersten 1 5, 2 10, 3 n Haøbkreise, 4 aøøer Haøbkreise, d Umfänge der ersten 1 5, 2 8, 3 n Rechtecke, 4 aøøer Rechtecke! 684 Die Figur zeigt, wie an ein Quadrat weitere „angeschøossen“ wer- den. a Gib für die Foøge 1 k ø n l der Seitenøängen, 2 k A n l der Føächenin- haøte, 3 k t n l der „Treppenøängen“ eine rekursive und eine expøizite Darsteøøung an! (Anøeitung: t n = ø 1 + ø 2 + … + ø n ) b Haben die (im Prinzip unendøich vieøen) Quadrate einen insge- samt endøichen Inhaøt? Begründe! Wenn ja, berechne den Ge- samtinhaøt A! 685 Einem Quadrat mit der Seitenøänge a ist ein zweites Quadrat so eingeschrieben, dass dessen Eckpunkte die Seiten des ersten Quadrates im Verhäøtnis 34 teiøen; dem zweiten Quadrat wird ein drittes Quadrat nach derseøben Vorschrift eingeschrieben, usw. Berechne die Summe der a Umfänge, b Føächeninhaøte aøøer Quadrate! 686 Berechne die Länge der bøauen Linie in Fig. 4.11 , wenn die Schenkeø des Winkeøs, auf die man die Lote fäøøt, 45° einschøießen! Fig. 4.17 M F 4.17 Fig. 4.18 F 4.18 Fig. 4.19 d 3 d 4 d 1 l 1 l 2 l 3 l 4 d 2 F 4.19 S 137 Die älteste Pendeluhr Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv