Reichel Mathematik 6, Schulbuch

16 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Abtragen und Teilen von Strecken – Schwerpunkt eines Dreiecks 1. Strecken abtragen und teilen Die entsprechenden Formeln lassen sich wortwörtlich von der Ebene in den Raum übertragen. Satz Veraøøgemeinerte APPEnd-Regeø: Das Abtragen einer Strecke der Länge ø vom Punkt A in Richtung des Vektors _ À a erfoøgt gemäß der Formeø: X = A + ø· __ À a 0 1. und 2. Haøbierungspunktformeø: Für den Haøbierungspunkt H der Strecke AB giøt: H = A + 1/2· __ À AB und H = 1/2·(A + B) Teiøungspunktformeø: Für den zum Teiøverhäøtnis λ gehörigen Teiøungspunkt T der Strecke AB giøt: T = A – λ ·B _____ 1 – λ wobei λ * R \{1} 2. Den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnen Satz Schwerpunkt S im Dreieck ABC: S = 1/3·(A + B + C) Beispiel H Ermittøe den Schwerpunkt S des Dreiecks A (1 1 2 1 3), B (0 1 8 1 2), C (2 1 ‒1 1 1)! Lösung: S = 1/3· “ “ 1 2 3 § + “ 0 8 2 § + “ 2 ‒1 1 § § = 1/3· “ 3 9 6 § = “ 1 3 2 § Bemerkung: Der Begriff „Schwerpunkt“ stammt aus der Physik und ist nicht unproblematisch. Wir in- terpretieren ihn hier geometrisch als Schwerpunkt eines „dünnen“ Flächenstückes mit gleichmäßig („homogen“) verteilter Masse (und stützen darauf den Beweis des obigen Satzes ). Dabei sind Flächen eigentlich „unendlich dünn“ und damit masselos. Unterstützt man das Dreieck unter diesem Punkt, so kippt es nicht. Der Schwerpunkt kennzeichnet also einen Punkt, wo sich die „Kippkräfte“ neutralisie- ren. Ebenso könnte man die Masse des Dreiecks in den Eckpunkten (oder in den Seiten) konzentrieren und nach dem Punkt fragen, wo sich deren gegenseitige „Anziehungskräfte“ neutralisieren. Du siehst: Man muss definieren , was man unter dem „Schwerpunkt“ versteht bzw. verstehen will ! 32 Trage die vorgegebene Länge ® von A aus paraøøeø zur Strecke BC nach beiden Seiten ab! a A (3 1 ‒7 1 2), B (‒1 1 3 1 2), C (8 1 5 1 ‒4), ® = 11 b A (1 1 2 1 3), B (‒4 1 ‒6 1 7), C (0 1 ‒2 1 9), ® = 12 c A (4 1 0 1 2), B (‒9 1 1 1 ‒6), C (‒6 1 3 1 0), ® = 14 d A (‒3 1 7 1 2), B (0 1 ‒2 1 4), C (9 1 10 1 24), ® = 5 33 Zerøege die Strecke AB in die jeweiøs angegebene Anzahø n gøeich øanger Teiøstrecken! Berechne die Koordinaten aøøer Teiøungspunkte 1 mit, 2 ohne Teiøungspunktformeø! a A (4 1 ‒2 1 1), B (8 1 6 1 13), n = 4 b A (‒3 1 5 1 ‒18), B (9 1 11 1 6), n = 6 c A (‒2 1 ‒1 1 5), B (4 1 5 1 11), n = 3 d A (‒4 1 ‒1 1 0), B (0 1 7 1 0), n = 4 e A (‒3 1 3 1 ‒4), B (7 1 ‒7 1 6), n = 5 f A (5 1 4 1 ‒2), B (‒1 1 ‒8 1 10), n = 6 g A (0 1 2 1 3), B (10 1 17 1 13), n = 5 h A (1 1 ‒3 1 3), B (1 1 4 1 ‒11), n = 7 34 Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks ABC! a A (2 1 ‒1 1 3), B (6 1 3 1 1), C (4 1 4 1 2) b A (‒1 1 ‒5 1 2), B (‒4 1 1 1 ‒1), C (‒1 1 ‒2 1 5) c A (3 1 3 1 ‒1), B (‒2 1 5 1 ‒2), C (‒7 1 4 1 ‒9) d A (5 1 ‒2 1 0), B (0 1 ‒7 1 4), C (1 1 ‒3 1 2) 35 Vom Dreieck ABC kennt man den Schwerpunkt S. Berechne die Koordinaten des fehøenden Eckpunktes! a B (‒1 1 ‒2 1 ‒3), C (4 1 2 1 0), S (3 1 3 1 3) b A (‒1 1 3 1 ‒4), C (‒2 1 0 1 2), S (‒1 1 2 1 4) c B (2 1 ‒1 1 ‒1), C (1 1 ‒5 1 ‒3), S (‒5 1 ‒4 1 0) d A (‒3 1 ‒2 1 0), B (0 1 ‒7 1 0), S (‒1 1 31) 1.3 B T A AT = . BT λ A 45b 150501-016 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv