Reichel Mathematik 6, Schulbuch

17 1.3 Abtragen und Teilen von Strecken – Schwerpunkt eines Dreiecks 1 36 Beweise: Die Diagonaøen eines Paraøøeøogramms haøbieren einander. 37 Beweise: Die Diagonaøen eines Trapezes teiøen einander im Verhäøtnis der Paraøøeøseiten. 38 Beweise: Verbindet man die Mitteøpunkte gegenüberøiegender Seiten in einem Viereck, so haøbieren ein- ander die beiden Verbindungsstrecken. 39 Beweise: Die Haøbierungspunkte eines beøiebigen (dh. nicht notwendigerweise ebenen Vierecks) biøden ein Paraøøeøogramm. 40 Beweise: Der Haøbierungspunkt M der Verbindungsstrecke der Haøbierungspunkte H e und H f der Diago- naøen e und f eines ebenen Vierecks ABCD øässt sich foøgendermaßen berechnen: M = 1/4·(A + B + C + D) 41 Wir wissen: Jede durch den Schwerpunkt eines Dreiecks hindurchgehende Gerade ist eine Schwerøinie des Dreiecks. Weøche dieser Schwerøinien werden vom Schwerpunkt haøbiert? Skizze! Beweis! 42 Steøøe den Schwerøinienvektor 1 _ À s a (= ___ À H a A), 2 _ À s b und 3 _ À s c aøs Linearkombination der Ortspfeiøe der Ecken dar! 43 Die Punkte P, Q und R teiøen die Seiten eines Dreiecks ABC „reihum“ im seøben Verhäøtnis t = † __ À AP †  † __ À AB † = † __ À BQ †  † __ À BC † = † __ À CR †  † __ À CA † . Dann giøt: Die Dreiecke ABC und PQR besitzen denseøben Schwer- punkt. Prüfe dies am Dreieck A (0 † 0 † 0), B (16 † 0 † 0), C (8 † 24 † 0) nach! Skizze! a t = 1/2 b t = 1/4 c t = 3/8 d t = 5/8 44 Gegeben sei das Viereck ABCD. S 1 , S 2 , S 3 und S 4 seien die Schwerpunkte der Teiødreiecke BCD, ACD, BDA und ABC. 1 Zeige, dass jede Seite des Vierecks S 1 S 2 S 3 S 4 zu einer Seite des Vierecks ABCD paraøøeø ist! 2 Berechne das Verhäøtnis der Seitenøängen der beiden Vierecke! 45 a Beweise: Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks giøt __ À SA + __ À SB + __ À SC = _ À o. Skizze! b Überøege den foøgenden Beweis der Formeø für den Schwerpunkt eines Dreiecks und referiere darüber! 1) Wir gehen davon aus (Beweis foøgt im Beweisteiø 2), dass der Schwerpunkt S die Schwerøinie s c in- nen im Verhäøtnis ___ H c S __ SC = 12 teiøt. (Anaøoges giøt für s a und s b .) Das Teiøverhäøtnis λ ist daher ‒1/2. S = H c – (‒1/2)·C ________ 1 – (‒1/2) = H c + 1/2·C ______ 3/2 = 2/3·H C + 1/3·C w S = 1/3·(A + B) + 1/3·C w Behauptung H c = 1/2·(A + B) 2) Der Beweis der Voraussetzung in 1) foøgt aus der offensichtøich güøtigen Vektorgøeichung __ À AS = ___ À AH c + ___ À H c S weøche man mitteøs der noch unbekannten Zahøen t und s zu s· ___ À AH a = ___ À AH c + t· ___ À H c C umformt (womit man die Anzahø der Unbekannten von drei (nämøich x s , y s und z s ) auf zwei (nämøich t und s) reduziert und gøeichzeitig den ge- gebenen Punkt C in die Gøeichung einbringt). Die weiteren Umformun- gen basieren auf der Regeø „Spitze minus Schaft“ und der 2. Haøbie- rungspunktformeø: s·(H a – A) = H c – A + t·(C – H c ) s·(1/2·(B + C) – A) = 1/2·(A + B) – A + t·(C – 1/2·(A + B)) ‒s·A + s/2·B + s/2·C = (‒t/2 – 1/2)·A + (‒t/2 + 1/2)·B + t·C Durch Vergøeich der Koeffizienten von A, B und C erhäøt man ein øineares Gøeichungssystem mit drei Gøeichungen und zwei Variabøen: ‒s = ‒t/2 – 1/2 s/2 = ‒t/2 + 1/2 w t = ‒t/2 + 1/2 w t = 1/3 w s = 2/3 w. A. s/2 = t Nun war aber ___ À H c S = t· ___ À H c C; somit giøt ___ H c S __ SC = 12, aøso die Behauptung. A B C S H a H c Fig. 1.10 F 1.10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv