Reichel Mathematik 6, Schulbuch

179 5.4 Ziehen ungeordneter Stichproben – 2. Pfadregel 5 Ziehen ungeordneter Stichproben – 2. Pfadregel Zieht man aus einer Urne n Kugeln einzeln , also eine nach der anderen, so ergibt sich ganz von selbst eine Reihenfolge und demgemäß eine geordnete Stichprobe. Vielfach interessiert man sich jedoch für ungeordnete Stichproben, wie sie entstehen, wenn man aus der Urne n Kugeln „mit einem Griff“ zieht. Im Sinne der Mathematik ist eine geordnete Stichprobe eine Folge, eine ungeordnete Stichprobe eine (Art) Menge (wobei allerdings Elemente mehrfach auftreten können). Wo es die Deutlichkeit verlangt, unterscheiden wir Stichproben daher in ihrer Notation durch Verwendung von Folgenklammern bzw. Mengenklammern. 1. Das Ziehen ungeordneter Stichproben ohne Zurücklegen beschreiben Beispiel F Pauø Fauø hat sich wieder einmaø nicht für die Mathematikwiederhoøung vorbereitet. Er weiß, dass dafür jede Stunde zwei Schüøer zufäøøig ausgewähøt werden. Wie groß ist für ihn die Chance, zur Stundenwiederhoøung gerufen zu werden, wenn noch 14 andere Schüøer anwesend sind? Lösung: Pauø entwirft das foøgende gewichtete Baumdiagramm, wobei er für „komme dran“ = 1 und für „komme nicht dran“ = 0 schreibt. 1 0 (14) 1 0 1 1 0 0 P (1 1) = 1/15 ĸ 0/14 = 0 P (1 0) = 1/15 ĸ 14/14 = 1/15 P (0 1) = 14/15 ĸ 1/14 = 1/15 P (0 0) = 14/15 ĸ 13/14 = 13/15 1/15 14/15 0/14 1/14 14/14 13/14 Offensichtøich gibt es zwei Ziehungsverøäufe, nämøich 10 und 01, bei denen er kontroøøiert wird. Ge- mäß der 1. Pfadregeø treten sie mit der Wahrscheinøichkeit 1/15·14/14 = 1/15 bzw. 14/15·1/14 = 1/15 auf. Fasst man die beiden Pfade 10 und 01 zu einem zusammen, so erhäøt man: P (komme dran) = P (10 = 01) = P ({0; 1}) = 1/15 + 1/15 = 2/15 Offenbar kann es Paul völlig egal sein, ob er beim 1. Zug oder beim 2. Zug ausgewählt wird. Was für Paul zählt ist, ob er – egal an welcher Stelle – in der Stichprobe enthalten ist. Mit anderen Worten: Sein Interesse gilt den ungeordneten Stichproben von n aus N Elementen ohne Zurücklegen für den Fall n = 2 und N = 15 . 2. Die 2. Pfadregel kennen und anwenden In Beispiel F haben wir die beiden geordneten Stichproben, die sich nur in der Reihenfolge unterschei- den, zu einer ungeordneten Stichprobe zusammengefasst. Deren Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen geordneten Stichproben. In Verallgemeinerung dessen gilt die Regel 2. Pfadregeø: Die Wahrscheinøichkeit einer ungeordneten Stichprobe ist die Summe 1 der zugehörigen Pfadwahrscheinøichkeiten 2 . Beweise die Regeø ! 1 Diese Regel ist ein Spezialfall der so genannten Summenregel . 2 Die Pfadwahrscheinlichkeiten werden dabei gemäß der 1. Pfadregel berechnet. 5.4 A 780 S 189 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv