Reichel Mathematik 6, Schulbuch

18 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Das skalare Produkt – Definition und Anwendungen 1. Das skalare Produkt und die Vektor-Winkel-Formel kennen und verwenden Analog zu den Verhältnissen im R 2 kann man auch den von zwei Vekto- ren (Pfeilen) des R 3 eingeschlossenen Winkel berechnen , da es sich ja eigentlich um ein „ebenes“ Problem handelt. Begründe! Man erhält formal gleichlautend (vgl. Buch 5. Kl. S. 242) den Satz Vektor-Winkeø-Formeø (VW-Formeø): cos ¼ (a, b) = _ À a· _ À b ____ † _ À a † · † _ À b † = __ À a 0 · __ À b 0 Beweis: Es seien _ À a und _ À b zwei Vektoren (Pfeile), die den Winkel φ „aufspannen“ . Dann gilt aufgrund des Cosinussatzes (vgl. Buch 5. Kl. S. 210) in seiner „vektoriellen“ Formulierung: c 2 = † _ À a – _ À b † 2 = † _ À a † 2 + † _ À b † 2 – 2· † _ À a † · † _ À b † ·cos φ (x a – x b ) 2 + (y a – y b ) 2 + (z a – z b ) 2 = x a 2 + y a 2 + z a 2 + x b 2 + y b 2 +z b 2 – 2· † _ À a † · † _ À b † cos φ x a 2 – 2 x a x b + x b 2 + y a 2 – 2 y a y b + y b 2 + z a 2 – 2 z a z b + z b 2 = x a 2 + y a 2 + z a 2 + x b 2 + y b 2 + z b 2 – 2· † _ À a † · † _ À b † ·cos φ ‒ 2·(x a x b + y a y b + z a z b ) = ‒ 2· † _ À a † · † _ À b † ·cos φ Wie schon in der 5. Klasse (S. 241) stößt man auf einen Ausdruck, der die Summe der Produkte der Ko- ordinaten zweier Vektoren ist und den man zwecks einfacherer Sprech- und Schreibweise als skalares Produkt bezeichnet. Definition Die Zahø _ À a· _ À b = x a x b + y a y b + z a z b heißt skaøares Produkt der Vektoren _ À a = (x a 1 y a 1 z a ) und _ À b = (x b 1 y b 1 z b ) des Raumes. Man erhält nach Division durch ‒2· † _ À a † · † _ À b † die VW-Formel. Insbesondere ergibt sich wegen cos 90° = 0 der Satz Orthogonaøitätskriterium: Zwei Vektoren _ À a und _ À b sind genau dann zueinander orthogonaø, wenn ihr skaøares Produkt nuøø ist, dh.: _ À a © _ À b É _ À a· _ À b = 0 Bemerkung: Gemäß diesem Kriterium steht der Nullvektor _ À o = (0 1 0 1 0) zu jedem Vektor orthogonal; sol- che „Orthogonalvektoren“ wollen wir in Hinkunft im Allgemeinen nicht berücksichtigen. 2. Rechengesetze und Eigenschaften des skalaren Produktes kennen und beweisen Regel Rechengesetze für das skaøare Produkt: Für beøiebige Vektoren _ À a, _ À b, _ À c des R 3 und v * R giøt: 1) _ À a· _ À b = _ À b· _ À a 2) _ À a· _ À o = 0 3) _ À a 2 = _ À a· _ À a = x a · x a + y a ·y a + z a ·z a = x a 2 + y a 2 + z a 2 = “ 9 _________ x a 2 + y a 2 + z a 2 § 2 = † _ À a † 2 4) _ À a· _ À b = † _ À a † · † _ À b † ·cos ¼ ( _ À a, _ À b) 5) _ À a· _ À b = 0 É _ À a © _ À b, dh. _ À a und _ À b sind orthogonaø 6) _ À a·( _ À b + _ À c) = _ À a· _ À b + _ À a· _ À c 7) v·( _ À a· _ À b) = (v· _ À a)· _ À b = _ À a·(v· _ À b) Verifiziere bzw. beweise diese Gesetze ! Bemerkung: Ein Assoziativgesetz kann es nicht geben. Begründe ! 1.4 Fig. 1.11 a φ b F 1.11 F 1.11 A 58 A 58e 150501-018 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv