Reichel Mathematik 6, Schulbuch

189 5.6 Bedingte Wahrscheinlichkeit – Satz von BAYES 5 3. Regeln für das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (Satz von BAYES) kennen und anwenden Erøäutere, wie sich die foøgenden Rechenregeøn aus den obigen zweistufigen Baumdiagrammen unmitteøbar abøesen øassen! Aus der letzten Zeile des obigen Baumdiagramms erhält man als Analogon zur 2. Pfadregel den Satz (Spaøten- bzw. Zeiøen-) Summenregeø: P (A ? B) + P (A ? B ’ ) = P (A) Aus der 2. Zeile der Baumdiagramme gewinnt man den Satz Regeø von der totaøen Wahrscheinøichkeit: P (A 1 B) + P (A ’ 1 B) = 1 Für P (A ? B) erhält man als Analogon zur 1. Pfadregel aus dem linken bzw. rechten Baum den Satz Produktregeø: P (A ? B) = P (B 1 A)·P (A) = P (A 1 B)·P (B) Daraus folgt der Satz Satz von BAYES 1 : P (B 1 A) = P (A 1 B)·P (B) _______ P (A) Bemerkung: Die obigen Formeln geben jeweils nur eine von vier analogen Beziehungen an, sozusagen deren formale Struktur . Beispielsweise könnte man die Regel von der totalen Wahrscheinlichkeit auch in der Form P (A’ 1 B’) + P (A|B’) = 1 anschreiben. Unter Umständen muss man dies in konkreten Anwen- dungssituationen auch wirklich tun, wie das folgende Beispiel zeigt. Überøege und formuøiere einige dieser anaøogen Formeøn ! Beispiel J Unter den Kindern, die an einem Schwimmkurs teiønehmen, sind 60% Mädchen. 50% der Kinder können noch nicht schwimmen; unter den Knaben sind es nur 25%. a Wie vieø Prozent der Kinder, die noch nicht schwimmen können, sind Knaben? b Wie vieø Prozent der Mädchen können noch nicht schwimmen? Lösung: Es geht hier um den Zusammenhang zwischen den Merkmaøen „Schwimmtüchtigkeit“ und „Geschøecht“. Bedeutet A … Mädchen, A ’ … Knabe und B … schwimmt, B ’ … schwimmt nicht, so øautet die Angabe formaøisiert: P (A) = 0,60; P (B ’ ) = 0,50; P (B ’ 1 A ’ ) = 0,25. a Gesucht ist P (A ’ 1 B ’ ), was man aufgrund des Satzes von BAYES in der Form P (B ’ 1 A ’ )·P (A ’ ) ________ P (B ’ ) ausrechnen kann, wozu wir aøøerdings P (A ’ ) benötigen. Wegen P (A ’ ) = 1 – P (A) = 0,40 erhäøt man: P (A ’ 1 B ’ ) = 0,25·0,40 ______ 0,50 = 0,2, dh., 20% der Kinder, die noch nicht schwimmen können, sind Knaben. b Gesucht ist P (B ’ 1 A). Um den Satz von BAYES anwenden zu können, benötigen wir P (A 1 B ’ ). Wir erhaøten es unter Verwendung des Ergebnisses von a aus der Beziehung P (A 1 B ’ ) = 1 – P (A ’ 1 B ’ ) = 1 – 0,2 = 0,8 und somit: P (B ’ 1 A) = P (A 1 B ’ )·P (B ’ ) ________ P (A) = 0,8·0,5 _____ 0,60 = 2 _ 3 Dh., 2/3 = 66, _ 6% der Mädchen dieses Kurses können noch nicht schwimmen. 1 Reverend Thomas BAYES (1702–1761) F 5.12 F 5.12 A 808 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv