Reichel Mathematik 6, Schulbuch

19 1.4 Das skalare Produkt – Definition und Anwendungen 1 3. Die vektorielle Flächenformel und Determinanten kennen und verwenden Auch bei der Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks beweist das skalare Produkt seine Nütz- lichkeit. Gemäß der trigonometrischen Flächenformel (vgl. Buch 5. Kl. S. 211) gilt: A = 1 _ 2 · † _ À a † · † _ À b † ·sin ¼ ( _ À a, _ À b) = 1 _ 2 · † _ À a † · † _ À b † · 9 ________ 1 – cos 2 ¼ ( _ À a, À b) Setzt man für cos ¼ ( _ À a, _ À b) die rechte Seite der VW-Formel ein und bringt den Ausdruck unter der Wurzel auf gleichen Nenner, so erhält man: A = 1 _ 2 · † _ À a † · † _ À b † · 9 ______ 1 – ( À a· _ À b) 2 _____ † _ À a † 2 · † _ À b † 2 = 1 _ 2 · † _ À a † · † _ À b † · 9 _______ † _ À a † 2 · † _ À b † 2 – ( _ À a· _ À b) 2 __________ ( † _ À a † · † _ À b † ) 2 Nach teilweisem Wurzelziehen und Kürzen durch † _ À a † · † _ À b † ergibt sich daraus wegen † _ À a † 2 = _ À a 2 und † _ À b † 2 = _ À b 2 der Satz Vektorieøøe Føächenformeø (VF-Formeø): Das von _ À a und _ À b „aufgespannte“ Dreieck hat den Føächeninhaøt A = 1 _ 2 · 9 __________ _ À a 2 · _ À b 2 – ( _ À a· _ À b) 2 . Setzt man in dieser Formel für die Vektoren _ À a und _ À b deren Koordinaten x a , y a , z a und x b , y b , z b ein, so er- hält man nach einigen Umformungen : A = 1 _ 2 · 9 ____________________________ (y a z b – y b z a ) 2 + (x a z b – x b z a ) 2 + (x a y b – x b y a ) 2 Diese Formel ist für das Programmieren bzw. die Theorie sehr nützlich, aber schwer zu merken, außer man verwendet folgende Schreibweisen und Begriffe aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme. Definition Die der quadratischen Matrix 1 “ p r q s § zugeordnete Zahø D = p·s – r·q heißt Determinante 2 dieser Matrix. Man schreibt dafür auch D = det “ p r q s § = † p r q s † . Merkhiøfe zur Berechnung: Produkt der Eøemente in der Hauptdiagonaøe (øinks oben nach rechts unten) minus Produkt der Eøemente in der Nebendiagonaøe (øinks unten nach rechts oben) Beispiel det “ 4 3 ‒2 1 § = † 4 3 ‒2 1 † = 4·1 – 3·(‒2) = 4 + 6 = 10 Da Determinanten Zahlen (in besonderer Schreibweise) sind, kann man mit ihnen rechnen: Beispiel † 1 ‒3 2 4 † 2 = (1·4 – (‒3)·4) 2 = (4 + 12) 2 = 16 2 = 256 Mit Determinanten lässt sich die VF-Formel in Koordinatenschreibweise leichter merken: Satz Koordinatenform der VF-Formeø: Das von _ À a und _ À b „aufgespannte“ Dreieck hat den Føächeninhaøt A = 1 _ 2 · 9 ___________________ † y a z a y b z b † 2 + † x a z a x b z b † 2 + † x a y a x b y b † 2 . Merkregeø: In der 1. Determinante fehøen die x-Koordinaten, in der 2. Determinante fehøen die y-Koordinaten, in der 3. Determinante fehøen die z-Koordinaten. 1 Matrix … rechteckiges (Zahlen-)Schema 2 determinieren … bestimmen, entscheiden A 57 “ p r q s § 150501-019 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv