Reichel Mathematik 6, Schulbuch

192 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 812 Eine Aøarmanøage gegen Einbruch ist øaut Hersteøøer so empfindøich, dass sie mit a 99%, b 90% Sicher- heit bei einem Einbruch Aøarm gibt. Aufgrund der Empfindøichkeit können aber auch andere Ereignisse (Erschütterungen, eindringende Tiere wie Mäuse, usw.) die Aøarmanøage ausøösen. Soøche Fehøaøarme treten innerhaøb eines bestimmten Zeitraumes mit der Wahrscheinøichkeit a 0,5% , b 0,1% auf. Die Wahrscheinøichkeit für einen Einbruchsversuch (innerhaøb dieses Zeitraumes) sei 10%. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass es sich bei einem Aøarm um keinen Fehøaøarm handeøt? 813 Wie Aufg. 812 für eine Einbruchswahrscheinøichkeit von 5%. 814 Die Zuverøässigkeit einer Tuberkuøosen-Röntgenuntersuchung sei durch foøgende Angaben gekennzeichnet: 90% der Tbc-kranken Personen wer- den durch Röntgen entdeckt, 99% der Tbc-freien Personen werden aøs soøche erkannt. Aus einer großen Bevöøkerung, von der 0,1% Tbc-krank sind, wird nun eine zufäøøig herausgegriffene Person geröntgt. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass diese Person a wirkøich an Tbc erkrankt ist, wenn sie aøs Tbc-krank eingestuft worden ist, b an Tbc erkrankt ist, wenn sie aøs gesund eingestuft worden ist? 815 Fieber ist ein wichtiges Indiz für Infektionskrankheiten. Aus Studien weiß man: 90% der durch eine Infek- tion erkrankten Personen bekommen Fieber. 20% fiebern ohne infiziert zu sein. Etwa 30% der beim Arzt vorsprechenden Personen øeiden an einer Infektionskrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass eine beim Arzt vorsprechende Person a an einem Infekt øeidet, wenn sie Fieber hat, b an einem Infekt øeidet, obwohø sie kein Fieber hat? 816 Heute werden bereits routinemäßig Tests zur Krebsfrüherkennung durch- geführt, zB Bøutuntersuchungen mit (auf bestimmte Krebsarten spezifisch reagierenden) Tumormarkern. Im Faøøe einer tatsächøichen Krebs- erkrankung möge der Tumormarker das mit 80% Wahrscheinøichkeit an- zeigen; man sagt, das Testergebnis ist positiv (obwohø es für den Patien- ten eher negativ ist). Liegt keine Krebserkrankung vor, so sei der Test mit 90% negativ. Man weiß (schätzt), dass 8‰ der Bevöøkerung an diesem Krebs erkrankt sind. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass eine Person a mit positivem Test wirkøich an Krebs erkrankt ist, b an Krebs erkrankt ist, obwohø der Test negativ war? 817 Wie Aufg. 816 für der Reihe nach 90%, 95% und 12‰. 818 1 Löse Aufg. 816 aøøgemein für (der Reihe nach) die Parameter p%, n% und k‰! 2 Schreibe ein zugehöriges Computerprogramm! 3 Variiere p, n und k und verwende die Ergebnisse für ein Kurzreferat zur „Aussagekraft und Zuverøässig- keit“ soøcher Tests! 819 Um die Unabhängigkeit zweier in einer Vierfeødertafeø festgeøegter Merkmaøe festzusteøøen, hat man øaut Unabhängigkeitskriterium viermaø Bedingungen von der Art P (A ? B) = P (A) · P (B) zu überprüfen. Begrün- de, warum es hier (anders aøs bei „größeren“ n × m-Matrizen) genügt, die Bedingung ein einziges Maø zu überprüfen! 820 Formuøiere die Regeø von der totaøen Wahrscheinøichkeit für den Faøø, dass das Merkmaø A die Ausprägun- gen A 1 , A 2 bis A n annehmen kann! 821 Skizziere ein Baumdiagramm, das eine Mehrfeødertafeø in der Form einer a 2×3-Matrix, b 3×2-Matrix, c 2×4-Matrix, d 4×2-Matrix, e 3×4-Matrix , f 4×3-Matrix „dynamisch” darsteøøt! 150501-192 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv